Числен анализ: Разлика между версии

Численият анализ намира широко практическо приложение в различни области на [[наука]]та и [[техника]]та. Първоначално възникнал във връзка с решаването на задачи от областта на [[физика]]та, днес методи на числения анализ намират приложение и в много други сфери – [[Математическа оптимизация|оптимизацияоптимизацията]]та при формирането на портфейли от финансови активи, [[Числена линейна алгебра|числената линейна алгебра]] при анализа на данни, [[Стохастично диференциално уравнение|стохастичните диференциални уравнения]] и [[Марковска_веригаМарковска верига|веригите на Марков]] при симулирането на живи клетки в биологията.

където <math>\mathbf{A^{-1}}</math> е обратната матрица такава, че <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{A^{-1}}=\mathbf{I}</math>, а <math>\mathbf{I}</math> е единичната матрица. В случай на хомогенна система всичките неизвестни са нула. Ако детерминантата на квадратна матрица е нула, то съответната и&#768;ѝ система от линейни уравнения може да няма решение (несъвместима система) или да има безброй решения (неопределена система). Когато детерминантата на матрицата е много малко число системата (задачата) се нарича лошо обусловена. Това означава, че при малки отклонения на <math>\mathbf{b}</math> се получават големи грешки при намиране на решението <math>\mathbf{x}</math>. За оценка на това свойство се въвежда понятието число на обусловеност на матрицата <math>\mathbf{A}</math>.

Линейни системи уравнения възникват в редица технически задачи (напр. електрически вериги), както и при численото решаване на посочените по-горе диференциални уравнения. Методите за решаване на линейни системи уравнения се разделят на две групи: преки (директни) и итерационни. При първите решението се достига чрез определена последователност от краен брой (известен брой) изчислителни операции. Такива са методът на Гаус (метод с елиминиране на променливите), правилото (формулите) на Крамер, разлагане на матрицата по сингулярни стойности, <math>QR</math> разлагане, разлагане на Чолески, симплекс метод и др. За разлика от преките, итерационните методи дават решение след неточно определен брой изчислителни стъпки зависещ от критерия за сходимост и сложността на решаваната система. Стартирайки от зададено предварително предполагаемо решение, итеративният метод формира все по-точни приближени решения на всяка итерация оценявайки качеството на последните чрез подходяща кост функция. Ако има сходимост се достига приблизително до точното решение (теоритичнотеоретично до точното решение се достига след безкраен брой итерации), в противен случай обикновено се достига максималния брой итерации и изчислението се преустановява. По-известни методи от групата са: метод на Нютон, метод на бисекцията, метод на Якоби и др. Такива методи се използват за системи с голям брой уравнения, където преките методи не могат да се използват поради ограничения в изчислителната техника (ограничения свързани с размера на оперативната памет на компютрите).