Конично сечение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
→Аналитично представяне: още мъничко |
дописано, без {{редактирам}} |
||
Ред 1:
[[Image:Conic sections 2n.png|right|thumb|300px|Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола]]
'''Конично сечение''' в математиката е [[алгебрична крива|алгебрична]] [[крива]] от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна [[конична повърхнина]] с [[равнина (математика)|равнина]]. Видовете конични сечения са били известни още на [[Древна Гърция|древните гърци]]; получават имената си от Аполоний от Пергам, който систематично да изследвал свойствата им.
== Геометрично представяне ==
Три са видовете конични сечения:
* '''[[елипса]]''' — затворена крива с два [[фокус (математика)|фокуса]]. Частен случай е [[окръжност]]та, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, [[перпендикулярност|перпендикулярна]] на оста му.
* '''[[парабола]]''' — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, [[успоредност|успоредна]] на образувателната му.
* '''[[хипербола]]''' — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.
Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от [[гръцки език]] и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „сравнявам“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή).
Line 15 ⟶ 16:
== Аналитично представяне ==
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.<ref>„Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998</ref> Нека ''F'' е фиксирана точка в равнината, а ''d'' - права, неминаваща през ''F''. Нека ''М'' е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където <math> \textstyle
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F — ''фокус'', а правата ''d'' — ''директриса''.
Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \eta </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle
: <math>\displaystyle
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
## При <math>e < 1 , 1 - e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" />
## При <math>e > 1 , \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{e^2 - 1}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{e^2 - 1} , b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на хиперболата''. <br /> Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). <ref name="kamenarov" />
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:
Line 44 ⟶ 46:
През 17 век коничните сечения биват описани в [[координата#декартови координати|декартови координати]] от [[Джон Уолис]] и [[Ян де Вит]], който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.<ref>''{{en икона}} "The Penguin Dictionary of Mathematics"'', John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989</ref>
{{секция-мъниче}}
Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от [[Прокъл]] и [[Исидор Милетски]] през 5 - 4 в.пр.н.е.<ref name="matterm" /> Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата
▲=== Методи и инструменти за чертане ===
▲Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от [[Прокъл]] и [[Исидор Милетски]] през 5 - 4 в.пр.н.е.<ref name="matterm" /> Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата като ''геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число''.
Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на [[Архимед]]. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.
Line 58 ⟶ 59:
== Външни препратки ==
{{commonscat|Conic sections}}
*{{en икона}} [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/conics/drawing/Index_Instruments.html Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения] (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
* {{Цитат уеб|уеб_адрес=http://dspace.library.cornell.edu/bitstream/1813/2718/1/2004-9.pdf |заглавие=Historical Mechanisms for Drawing Curves |достъп_дата=20/05/2007 |автор=Daina Taimina |съавтори= |дата= |формат=PDF |издател=Cornell University |език=английски }}
|