Апроксимация
Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:
- числени методи и функционален анализ, които се занимават с апроксимация на функции (най-честата употреба на термина);
- геометрия и топология, в които се разглежда апроксимацията на криви, повърхнини, пространства и изображения;
- теория на числата, където класически пример е апроксимацията на ирационални числа с рационални (т.нар. Диофантово приближение).[1]
Апроксимиране на реалните числа с рационални редактиране
Теорема 1. Нека е реално число, а – естествено. Тогава съществуват цели числа и , за които и
За произволно реално да означим с най-голямото измежду целите числа . Така например, , . От това определение става ясно, че е цяло число и че .
![{\displaystyle [y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f637a17dac262ee0fc8d58e31d08ca3ebe5a0fed)
![{\displaystyle \left[{\frac {5}{2}}\right]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bf599a5101eed7b008314fead7886622fff3f4)
![{\displaystyle \left[-{\frac {5}{2}}\right]=-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4552e6f51ee2ba78c0e14a5e41ab3e47e6f2c63)
![{\displaystyle 0\leq y-[y]<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b12f81108a2ed3197cb1123d69fc71318ef8d7)
Да разгледаме числата . Те са на брой и лежат в интервала . Разделяме последния интервал на равни подинтервала всеки от които има дължина . От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа и между и , за които числата и принадлежат на един и същи интервал . Следователно разстоянието между тях няма да надминава , т.е.
![{\displaystyle kx-[kx],(k=0,1,2...,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c41a2562fdc1470d7791d5b40b6e0e1b2d4b83)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle kx-[kx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da1de143fe1783b066517f672d70472b8416b30)
![{\displaystyle lx-[lx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841187bc048bb73835dd99cfb5af08bdf2863fbf)
![{\displaystyle |kx-[kx]-(lx-[lx])|\leq {\frac {1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bd602a771e219eea90b4941e34e0caf5d1e6a9)
или, което е същото ,
![{\displaystyle |(k-l)x-([kx]-[lx])|\leq {\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c13f0ab5b6d2c19cfb76cc56a626917afd72b7)
Тъй като , без ограничение на общността може да се предположи, че . Освен това, , , следователно . Да положим и . Тогава и са цели числа и са в сила неравенствата . При тези означения добива вида , откъдето след деление на двете страни с се получава . От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.
![{\displaystyle p=[kx]-[lx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e524e69701381fb8679b682bbff4e92ce709f92)
Теорема 2. За всяко реално число съществуват безбройно много естествени числа , за всяко от които съществува цяло число за което е в сила неравенството
