Вписани окръжности в триъгълник
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |  |
Вътрешновписана (или само вписана) окръжност в триъгълник се нарича окръжността с най-голям радиус, която се съдържа в даден триъгълник. Тази окръжност се допира до трите страни на триъгълника. Във всеки триъгълник съществува единствена вътрешновписана окръжност. Външновписани окръжности в триъгълник са окръжностите, които се допират до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите две страни. За всеки триъгълник съществуват три външновписани окръжности.
Центърът на вътрешновписаната окръжност съвпада с пресечната точка на ъглополовящите на вътрешните ъгли на триъгълника. Центърът на външновписаните окръжности съвпада с пресечната точка на една от ъглополовящите на вътрешните ъгли с ъглополовящите на външните ъгли при другите два върха на триъгълника. Поради това центърът на вътрешновписаната окръжност е ортоцентър за триъгълника с върхове – центровете на външновписаните окръжности.
Радиусите на вписаните в триъгълник окръжности са пряко свързани с лицето на триъгълника. Ако S е лицето на триъгълника, а дължините на страните на триъгълника са означени с a, b и c, радиусът на вътрешновписаната окръжност може да се изрази като 2S/(a+b+c). При същите означения външновписаната окръжност, която се допира до страната a, може да се изрази като 2S/(-a+b+c), до страната b като 2S/(a-b+c) и до страната c като 2S/(a+b-c).
Във всеки триъгълник окръжността на деветте точки се допира до трите външновписани окръжности и до вътрешновписаната окръжност на триъгълника. На вътрешновписаната окръжност в триъгълника лежи точката на Фойербах.
Ако означим върховете на един триъгълник с A, B и C и трите точки, в които вътрешновписаната окръжност се допира до страните на триъгълника с TA, TB и TC (точка TA лежи на срещуположната на точка A страна), триъгълникът TATBTC се нарича допирен триъгълник или триъгълник на Жергон. Вътрешновписаната окръжност в триъгълник ABC е описана около TATBTC. Отсечките ATA, BTB и CTC се пресичат в една точка – точката на Жергон.
В допирния триъгълник точката на Жергон съвпада с пресечната точка на симедианите - точка на Лемуан.
Ако в правоъгълен триъгълник означим дължините на страните с a, b и c (c е дължината на хипотенузата), радиусът на вътрешновписаната окръжност може да се изрази като (a+b-c)/2.