Еволюта

Еволютата на дадена крива е геометричното място на центровете на кривината на кривата. С други думи, ако за всяка точка от кривата се начертае центърът на кривината на кривата в тази точка, резултатната фигура се нарича еволюта на кривата. Самата кривата за еволютата си се нарича еволвента.

Еволютата (синьо) на елипса (червено) е геометричното място на нормалите на елипсата.

Основно свойство на еволютата е, че допирателните на еволютата са нормали за еволвентата.

История

Терминът еволюта произлиза от латинското evolvo, „развивам“.

Аполоний Пергски (около 200 г. пр.н.е.) дискутира еволютите в Книга V от неговите „Конични сечения“. Въпреки това, в литературата Кристиан Хюйгенс се споменава като първият изучавал еволютите (в труда си Horologium oscillatorium, 1673). Хюйгенс формулира своята теория за еволютите някъде около 1659 година с цел да реши проблема за намирането на тавтохрона (изохрона), която на свой ред да му помогне да конструира изохронно махало. Причината е в това, че тавтохроната по същество е циклоида, а циклоидата има уникалното свойство еволютата ѝ също да е циклоида. Теорията на еволютите на практика позволява на Хюйгенс да получи много резултати, които по-късно са били преоткрити със средствата на математическия анализ.

Еволютите са обект на изучаване и в две статии на Готфрид Лайбниц от 1692 година.

Обобщението на понятието е дадено през 1709 г. от известния физик Рене-Антоан Реомюр.

Примери

• Еволютата на една окръжност $(x^{2}+y^{2}=r^{2})$ е една-единствена точка, съвпадаща с центъра на окръжността.
• Еволютата на една циклоида $(x=r(t-\sin t);y=r(1-\cos t))$ е конгруентна циклоида.
• Еволютата на една астроида $(x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}})$ отново е астроида.
• Еволютата на една логаритмична спирала $(x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,;y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t))$ е конгруентна спирала.
• Еволютата на една парабола $(y=x^{2})$ е семикубична парабола $(y^{2}=a^{2}x^{3})$. Роговата ѝ точка съвпада с центъра на кривината на параболата във връхната ѝ точка.