Ковектор

Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.

Трансформация между координатни системи

От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.

А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).

${\vec {A}}=a1.{\vec {e}}1+a2.{\vec {e}}2+a3.{\vec {e}}3$

Можем да запишем горното равенство за по-просто:

$A=a1e_{1}+a2e_{2}+a3e_{3}$

(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.

Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3'), то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').

Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори $(e_{1},e_{2},e_{3})$ търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори $({\bar {e}}_{1},{\bar {e}}_{2},{\bar {e}}_{3})$. Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.

Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

$A(a^{1},a^{2},a^{3})$ – Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре – за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.

$A=a^{1}e_{1}+a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}=\sum _{i=1}^{3}a^{i}e_{i}$

В системата К'

${\bar {A}}={\bar {a}}^{1}{\bar {e}}_{1}+{\bar {a}}^{2}{\bar {e}}_{2}+{\bar {a}}^{3}{\bar {e}}_{3}=\sum _{i=1}^{3}{\bar {a}}^{i}{\bar {e}}_{i}$

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:

${\bar {e}}_{1}=S_{1}^{1}e_{1}+S_{1}^{2}e_{2}+S_{1}^{3}e_{3}$

${\bar {e}}_{2}=S_{2}^{1}e_{1}+S_{2}^{2}e_{2}+S_{2}^{3}e_{3}$

${\bar {e}}_{3}=S_{3}^{1}e_{1}+S_{3}^{2}e_{2}+S_{3}^{3}e_{3}$

Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'. Скаларната матрица $S_{i}^{j}$ определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включително базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.

По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

$e_{1}=T_{1}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{1}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{1}^{3}{\bar {e}}_{3}$

$e_{2}=T_{2}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{2}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{2}^{3}{\bar {e}}_{3}$

$e_{3}=T_{3}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{3}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{3}^{3}{\bar {e}}_{3}$

Матрицата $T_{i}^{j}$ ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:

${\bar {e}}_{i}=S_{i}^{1}e_{1}+S_{i}^{2}e_{2}+S_{i}^{3}e_{3}=\sum _{j=1}^{3}S_{i}^{j}e_{j}$

$e_{i}=T_{i}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{i}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{i}^{3}{\bar {e}}_{3}=\sum _{j=1}^{j}T_{i}^{j}{\bar {e}}_{j}$

(2.1)

${\bar {e}}_{i}=\sum _{j=1}^{3}S_{i}^{j}e_{j}$
$e_{i}=\sum _{j=1}^{3}T_{i}^{j}{\bar {e}}_{j}$

Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3) ${\vec {A}}=a1e_{1}+a2e_{2}+a3e_{3}=\sum _{i=1}^{3}aie_{i}$

$e_{i}=T_{i}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{i}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{i}^{3}{\bar {e}}_{3}$

${\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}aie_{i}=\sum _{i=1}^{3}ai(T_{i}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{i}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{i}^{3}{\bar {e}}_{3}){\bar {e}}_{j}=\sum _{i=1}^{3}ai\sum _{j=1}^{3}T_{i}^{j}{\bar {e}}_{j}$

$=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}aiT_{i}^{j}{\bar {e}}_{j}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}ai{\bar {e}}_{j}=\sum _{j=1}^{3}(\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}ai){\bar {e}}_{j}$

Полагаме: ${\bar {a}}j=\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}ai{\bar {e}}_{j}$

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

$A=\sum _{i=1}^{3}aie_{i}=\sum _{j=1}^{3}{\bar {a}}j{\bar {e}}_{j}$

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

$A=\sum _{i=1}^{3}a^{i}e_{i}=\sum _{j=1}^{3}{\bar {a}}^{j}{\bar {e}}_{j}$

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

(2.2)

${\bar {a}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}a^{i}{\bar {e}}_{j}$

$a^{i}=\sum _{j=1}^{3}S_{j}^{i}a^{j}{\bar {e}}_{j}$

-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

Матрици

${\begin{Vmatrix}{\bar {a}}^{1}\\{\bar {a}}^{2}\\{\bar {a}}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}T_{1}^{1}&T_{1}^{2}&T_{1}^{3}\\T_{2}^{1}&T_{2}^{2}&T_{2}^{3}\\T_{3}^{1}&T_{3}^{2}&T_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}a^{1}\\a^{2}\\a^{3}\end{Vmatrix}}$

${\begin{Vmatrix}a^{1}\\a^{2}\\a^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}S_{1}^{1}&S_{1}^{2}&S_{1}^{3}\\S_{2}^{1}&S_{2}^{2}&S_{2}^{3}\\S_{3}^{1}&S_{3}^{2}&S_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}{\bar {a}}^{1}\\{\bar {a}}^{2}\\{\bar {a}}^{3}\end{Vmatrix}}$

Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

${\bar {A}}=TA$

$A=S{\bar {A}}$

$S=T^{-1}$

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:

${\begin{Vmatrix}{\bar {e}}_{1}\\{\bar {e}}_{2}\\{\bar {e}}_{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}S_{1}^{1}&S_{1}^{2}&S_{1}^{3}\\S_{2}^{1}&S_{2}^{2}&S_{2}^{3}\\S_{3}^{1}&S_{3}^{2}&S_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{Vmatrix}}$

В съкратена матрична форма:

${\bar {E}}={\begin{Vmatrix}{\bar {e}}_{1}\\{\bar {e}}_{2}\\{\bar {e}}_{3}\end{Vmatrix}}\qquad$$E={\begin{Vmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{Vmatrix}}\qquad$$S={\begin{Vmatrix}S_{1}^{1}&S_{1}^{2}&S_{1}^{3}\\S_{2}^{1}&S_{2}^{2}&S_{2}^{3}\\S_{3}^{1}&S_{3}^{2}&S_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}$

${\bar {E}}=SE$

$E=T{\bar {E}}$

Сега вече можем да дадем дефиниция:

Дефиниция

Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3), за който са сила трансформационните правила:

${\bar {a}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}a^{i}{\bar {e}}_{j}$

$a^{i}=\sum _{j=1}^{3}S_{j}^{i}a^{j}{\bar {e}}_{j}$

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите. Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното: Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.

Вижте също

• Метричен тензор
• Обща теория на относителността

Източници

• Английската и руската версии на Уикипедия
• „Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц

• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering Архив на оригинала от 2010-06-26 в Wayback Machine., released by NASA
• A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov.