Малка теорема на Ферма

Теоремата на Ферма гласи:

Ако a е цяло число ($a\in \mathbb {Z}$) и p e просто число, то

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$

Числови примери

• 4³ − 4 = 60 се дели на 3.
• (−3)⁷ − (−3) = −2184 се дели на 7.
• 2⁹⁷ − 2 = 158456325028528675187087900670 се дели на 97.

Доказателство на теоремата чрез метода на индукцията

Ще докажем, че за всяко просто p и цяло неотрицателно a, $a^{p}-a$ се дели на p като използваме метода на математическата индукция.

1) За a=0, $a^{p}-a=0$ и се дели на p

2) Да допуснем, че твърдението е вярно за a=k. Ще го докажем и за a=k+1.

$a^{p}-a=(k+1)^{p}-(k+1)=k^{p}+1+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}k^{l}-k-1=$

$=k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}k^{l}{p \choose l}$

Но $k^{p}-k$ се дели на p по предположение на индукцията. Що се отнася до другото събираемо, то ${p \choose l}={p! \over l!(p-l)!}$. За $1\leq l\leq p-1$, числителя на тази дроб се дели на p, а знаменателя - не се дели, следователно, ${p \choose l}$ се дели на $p$. Следователно цялата сума $k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}$ се дели на p, което и трябваше да се докаже.

За отрицателни a и нечетни p теоремата се доказва лесно ако приемем, че b=-a. За отрицателни a и p=2, верността на теоремата следва от $a^{2}-a=a(a-1)$.