Базови координати вектори
редактиране
Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:
A
=
A
1
e
1
+
A
2
e
2
+
A
3
e
3
{\displaystyle A=A1e_{1}+A2e_{2}+A3e_{3}}
B
=
B
1
e
1
+
B
2
e
2
+
B
3
e
3
{\displaystyle B=B1e_{1}+B2e_{2}+B3e_{3}}
, където
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
са ортогонални базови вектори.
За удобство се използва съкратен вариант на записване:
A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)
Може да се направи такова записване и за базовите вектори:
e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):
В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение .
Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):
δ
i
j
=
1
{\displaystyle \delta _{ij}=1}
ако i =j,
δ
i
j
=
0
{\displaystyle \delta _{ij}=0}
ако
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:
δ
i
j
=
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{i}j=\delta _{i}^{j}}
δ
11
=
1
δ
12
=
0
δ
13
=
0
{\displaystyle \delta _{11}=1\quad \delta _{12}=0\quad \delta _{13}=0\quad }
δ
21
=
0
δ
22
=
1
δ
23
=
0
{\displaystyle \delta _{21}=0\quad \delta _{22}=1\quad \delta _{23}=0\quad }
δ
31
=
0
δ
32
=
0
δ
33
=
1
{\displaystyle \delta _{31}=0\quad \delta _{32}=0\quad \delta _{33}=1}
Ако се ползва горен индекс се получава:
δ
1
1
=
1
δ
1
2
=
0
δ
1
3
=
0
{\displaystyle \delta _{1}^{1}=1\quad \delta _{1}^{2}=0\quad \delta _{1}^{3}=0\quad }
δ
2
1
=
0
δ
2
2
=
1
δ
2
3
=
0
{\displaystyle \delta _{2}^{1}=0\quad \delta _{2}^{2}=1\quad \delta _{2}^{3}=0\quad }
δ
3
1
=
0
δ
3
2
=
0
δ
3
3
=
1
{\displaystyle \delta _{3}^{1}=0\quad \delta _{3}^{2}=0\quad \delta _{3}^{3}=1}
В случай на ортогонална координатна система с единични вектори
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
има следната формула:
e
m
e
n
=
δ
m
n
{\displaystyle e_{m}e_{n}=\delta _{mn}}
, където m; n = 1; 2; 3
Реципрочни базови вектори
редактиране
Разглежда се координатна система с базови вектори:
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}}
Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.
Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:
A
→
=
A
1
E
→
1
+
A
2
E
→
2
+
A
3
E
→
3
{\displaystyle {\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}}
Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия:
Базови вектори:
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}}
E
→
1
.
E
→
1
=
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{1}=1}
E
→
2
.
E
→
2
=
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{2}.{\vec {E}}^{2}=1}
E
→
3
.
E
→
3
=
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{3}.{\vec {E}}^{3}=1}
E
→
1
.
E
→
2
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{2}=0}
E
→
1
.
E
→
3
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{3}=0}
E
→
2
.
E
→
3
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{2}.{\vec {E}}^{3}=0}
Втората група от условия налагат
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}^{1}}
да е перпендикулярен на
E
→
2
{\displaystyle {\vec {E}}_{2}}
и
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{3}}
,
E
→
2
{\displaystyle {\vec {E}}^{2}}
да е перпендикулярен на равнината, определена от
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}}
и
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{3}}
и
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{3}}
да е перпендикулярен на равнината, определена от
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}}
и
E
→
2
{\displaystyle {\vec {E}}_{2}}
.
Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:
E
→
i
.
E
j
=
δ
i
j
{\displaystyle {\vec {E}}_{i}.E^{j}=\delta _{i}^{j}}
, където i,j = 1,2,3
Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори
редактиране
От условията по въвеждането на реципрочната база вектори:
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}}
се вижда че
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}^{1}}
трябва да е перпендикулярен на
E
→
2
{\displaystyle {\vec {E}}_{2}}
и
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{3}}
.
Следователно той може да бъде представен като произведение
E
→
1
=
V
−
1
.
E
→
2
×
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3}}
където
V
−
1
{\displaystyle V^{-1}}
е константа , която предстои да бъде определена по-нататък.
Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}}
ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}}
.
E
→
1
.
E
→
1
=
V
−
1
.
E
→
1
.
(
E
→
2
×
E
→
3
)
{\displaystyle {\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{1}.({\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3})}
V
=
E
→
1
.
(
E
→
2
×
E
→
3
)
{\displaystyle V={\vec {E}}_{1}.({\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3})}
– обем на паралелепипед , зададен от базовите вектори с общо начало.
Съответно връзката между базата вектори
(
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
)
{\displaystyle ({\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3})}
и реципрочната база от вектори
(
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
)
{\displaystyle ({\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3})}
е:
E
→
1
=
V
−
1
.
E
→
2
×
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3}}
E
→
2
=
V
−
1
.
E
→
3
×
E
→
1
{\displaystyle {\vec {E}}^{2}=V^{-1}.{\vec {E}}_{3}\times {\vec {E}}_{1}}
E
→
3
=
V
−
1
.
E
→
1
×
E
→
2
{\displaystyle {\vec {E}}^{3}=V^{-1}.{\vec {E}}_{1}\times {\vec {E}}_{2}}
Контравариантно и ковариантно представяне на вектор
редактиране
Нека да има база от вектори
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}}
и съответната реципрочна база от вектори:
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}}
.
Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}}
A
→
=
A
1
E
→
1
+
A
2
E
→
2
+
A
3
E
→
3
{\displaystyle {\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}}
Координатите
A
1
,
A
2
,
A
3
{\displaystyle A^{1},A^{2},A^{3}}
се наричат контравариантни компоненти на А.
Тяхната стойност се определя от:
A
1
=
A
→
.
E
→
1
{\displaystyle A^{1}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{1}}
A
2
=
A
→
.
E
→
2
{\displaystyle A^{2}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{2}}
A
3
=
A
→
.
E
→
3
{\displaystyle A^{3}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{3}}
Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:
A
→
=
A
1
E
→
1
+
A
2
E
→
2
+
A
3
E
→
3
{\displaystyle {\vec {A}}=A_{1}{\vec {E}}^{1}+A_{2}{\vec {E}}^{2}+A_{3}{\vec {E}}^{3}}
Координатите
A
1
,
A
2
,
A
3
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}
се наричат ковариантни компоненти на А.
Те се определят от равенствата:
A
1
=
A
→
.
E
→
1
{\displaystyle A_{1}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{1}}
A
2
=
A
→
.
E
→
2
{\displaystyle A_{2}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{2}}
A
3
=
A
→
.
E
→
3
{\displaystyle A_{3}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{3}}
Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.
Разглеждат се две бази от координатни вектори
(
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
)
{\displaystyle ({\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3})}
и
(
E
→
1
,
E
→
2
,
E
→
3
)
{\displaystyle ({\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3})}
, но в този случай те да не са реципрочни.
Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:
E
→
i
.
E
→
j
=
E
→
j
.
E
→
i
=
g
i
j
=
g
j
i
{\displaystyle {\vec {E}}_{i}.{\vec {E}}_{j}={\vec {E}}_{j}.{\vec {E}}_{i}=g_{ij}=g_{ji}}
E
→
i
.
E
→
j
=
E
→
j
.
E
→
i
=
g
i
j
=
g
j
i
{\displaystyle {\vec {E}}^{i}.{\vec {E}}^{j}={\vec {E}}^{j}.{\vec {E}}^{i}=g^{ij}=g^{ji}}
скаларните величини:
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
се наричат метрични компоненти на пространството.
Съответно
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.
Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството
редактиране
Разглежда се векторът
A
(
A
1
,
A
2
,
A
3
)
{\displaystyle A(A^{1},A^{2},A^{3})}
, представен спрямо базата
E
1
,
E
2
,
E
3
{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}
.
A
→
=
A
1
E
→
1
+
A
2
E
→
2
+
A
3
E
→
3
{\displaystyle {\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}}
От предишните подточки се знае, че
A
1
=
A
→
E
1
{\displaystyle A_{1}={\vec {A}}E_{1}}
A
2
=
A
→
E
2
{\displaystyle A_{2}={\vec {A}}E_{2}}
A
3
=
A
→
E
3
{\displaystyle A_{3}={\vec {A}}E_{3}}
A
→
E
1
=
(
A
1
E
1
+
A
2
E
2
+
A
3
E
3
)
.
E
1
=
A
1
{\displaystyle {\vec {A}}E_{1}=(A^{1}E_{1}+A^{2}E_{2}+A^{3}E_{3}).E_{1}=A_{1}}
Умножава се:
A
→
E
1
=
A
1
E
1
.
E
1
+
A
2
E
2
.
E
1
+
A
3
E
3
.
E
1
=
A
1
{\displaystyle {\vec {A}}E_{1}=A^{1}E_{1}.E_{1}+A^{2}E_{2}.E_{1}+A^{3}E_{3}.E_{1}=A_{1}}
A
→
E
1
=
A
1
E
1
E
1
+
A
2
E
2
E
1
+
A
3
E
3
E
1
=
A
1
{\displaystyle {\vec {A}}E_{1}=A_{1}E^{1}E_{1}+A_{2}E^{2}E_{1}+A_{3}E^{3}E_{1}=A_{1}}
Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:
A
1
=
A
1
g
11
+
A
2
g
12
+
A
3
g
13
{\displaystyle A_{1}=A^{1}g_{11}+A^{2}g_{12}+A^{3}g_{13}}
A
2
=
A
1
g
21
+
A
2
g
22
+
A
3
g
23
{\displaystyle A_{2}=A^{1}g_{21}+A^{2}g_{22}+A^{3}g_{23}}
A
3
=
A
1
g
31
+
A
2
g
32
+
A
3
g
33
{\displaystyle A_{3}=A^{1}g_{31}+A^{2}g_{32}+A^{3}g_{33}}
Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:
A
1
=
A
1
g
11
+
A
2
g
12
+
A
3
g
13
{\displaystyle A^{1}=A_{1}g^{11}+A_{2}g^{12}+A_{3}g^{13}}
A
2
=
A
1
g
21
+
A
2
g
22
+
A
3
g
23
{\displaystyle A^{2}=A_{1}g^{21}+A_{2}g^{22}+A_{3}g^{23}}
A
3
=
A
1
g
31
+
A
2
g
32
+
A
3
g
33
{\displaystyle A^{3}=A_{1}g^{31}+A_{2}g^{32}+A_{3}g^{33}}