Правилен многоъгълник

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се самопресича), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и по големина ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът, като случаите за (сравнително) малък брой страни, примерно правилен петоъгълник, шестоъгълник, седмоъгълник, осмоъгълник или деветоъгълник са добре изучени. Двуъгълник (двустранен правилен многоъгълник) е из роден – двулинейна отсечка. За всеки брой на страните n, правилните n-ъгълници са еднакви.

Свойства

Вътрешен ъгъл α на правилен n-ъгълник се изчислява:

• в градуси –

$\alpha =(1-2/n)\cdot 180^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }/n$

• в радиани –

$\alpha =(2-35n)\cdot \pi =(n-2)\cdot \pi /n$

Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки – всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Правилният n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел тогава и само тогава, когато n е произведение на степен на 2 и/или едно или няколко различни прости числа на Ферма.

За n > 2 броят на диагоналите e $n{\frac {(n-3)}{2}}$, т.е. 0, 2, 5, 9, … Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, … части.

Лице

Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна, перпендикулярно на нея):

$S={\frac {Pk}{2}}$

или

$S={\frac {nb^{2}}{4\operatorname {tg} (\pi /n)}}$,

където b е дължината на страната, k на апотемата.

За b = 1 имаме

${\frac {n}{4}}\operatorname {ctg} (\pi /n)$

със следните стойности:

2	0	0,000
3	${\frac {\sqrt {3}}{4}}$	0,433
4	1	1,000
5	${\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1,720
6	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2,598
7		3,634
8	$2+2{\sqrt {2}}$	4,828
9		6,182
10	${\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7,694
11		9,366
12	$6+3{\sqrt {3}}$	11,196
13		13,186
14		15,335
15		17,642
16		20,109
17		22,735
18		25,521
19		28,465
20		31,569
100		795,513
1000		79 577,210
10000		7 957 746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 – малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

Симетрия

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група D_n (от ред 2n): D₂, D₃, D₄,... Тя се състои от ротациите в C_n (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина – през средата на срещулежащата страна.

Дължина на страната, периметър и лице

Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.

многоъгълник	a	P	S
триъгълник	$r\cdot {\sqrt {3}}$	$r\cdot 3{\sqrt {3}}$	$r^{2}\cdot {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$
квадрат	$r\cdot {\sqrt {2}}$	$r\cdot 4{\sqrt {2}}$	$r^{2}\cdot 2$
петоъгълник	$r\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$r\cdot 5{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
шестоъгълник	$r\,$	$r\cdot 6$	${\frac {3}{2}}r^{2}{\sqrt {3}}\approx r^{2}\cdot 2,598$
седмоъгълник	$\approx r\cdot 0{,}867767$	$\approx r\cdot 6{,}074372$	$\approx r^{2}\cdot 2{,}736410$
осмоъгълник	$r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx r\cdot 0,765$	$r\cdot 8{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx r\cdot 6,12$	$r^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}\approx r^{2}\cdot 2,828$
деветоъгълник	$\approx r\cdot 0{,}68404029$	$\approx r\cdot 6{,}15636258$	$\approx r^{2}\cdot 2{,}892544$

За правилен десетоъгълник:

$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx r\cdot 0,618$

$P=r\cdot 5\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx r\cdot 6,18$

$S=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\approx r^{2}\cdot 2,94$

За правилен дванадесетоъгълник:

$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

$P=r\cdot 12{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

$S=r^{2}\cdot 3$

За правилен n-ъгълник:

$a=2\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$

$P=2\cdot n\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$

$S={\frac {r^{2}\cdot n}{2}}\cdot \sin {\frac {360^{\circ }}{n}}$

Построение на правилен многоъгълник

Брой страни (до 1000) на известните построими многоъгълници, в червено са всички известни нечетни

Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с нечетен брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен n-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите числа на Ферма.

Задачата е идентична с разделянето на окръжността на n равни части. Евклид е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: ако вече е построен правилен $2^{m-1}$-ъгълник, то правилен $2^{m}$-ъгълник (при m > 1) се построява чрез разполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се построи и правилен многоъгълник с r × s страни. Простите числа, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с $2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}$ страни, където m е цяло неотрицателно число, p₁, p₂ са числата 3 и 5,k₁, k₂ приемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15.

През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на

$2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}},$

където k₀ е цяло неотрицателно число, k₁, k₂,...,k_s приемат стойности 0 или 1, а p_j са различни прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо, като това става известно като теоремата на Гаус-Ванцел. Тъй като броят на възможните произведения от пет (известните прости числа на Ферма) различни множителя, участващи по веднъж, е 31, това е и броят на построимите многоъгълници с нечетен брой страни.

Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния седемнадесетоъгълник – от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник – от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65537-ъгълник – от Густав Хермес през 1894 г.

Вижте също

• Квадрат
• Ромб
• Многоъгълник
• Безкрайноъгълник