Равенство на Ойлер

В математическия анализ равенството на Ойлер, кръстено на швейцарския математик Ойлер, е

$e^{i\pi }+1=0\,\!$,

където

$e\,\!$ е неперовото число, основата на естествените логаритми,

$i\,\!$ е имагинерната единица, дефинирана като i² = −1,

$\pi \,\!$ е лудолфовото число, отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.

Ойлеровото равенство се счита за забележително заради връзката, която полага, между пет от най-ключовите математически константи:

• числото 0.
• числото 1.
• числото π, което е широко разпространено в тригонометрията, евклидовата геометрия и математическия анализ.
• числото $e$, основата на естествения логаритъм, широко разпространено в математиката и множество други дялове на науката. И π, и $e$ са трансцендентни числа.
• числото $i$, имагинерната единица в полето на комплексни числа, което съдържа корените на всички възможни многочлени с реални коефициенти, и изследването на които води до редица ключови теореми в областта на алгебрата и математическия анализ.

Обяснение

Формулата на Ойлер за общ ъгъл.

Равенството на Ойлер е специален случай на формулата на Ойлер от комплексния анализ, която гласи, че за всяко реално число x,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

където стойностите на синуса и косинуса са в радиани.

В частност, когато x = π, или един полуоборот (180°) около окръжност:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

Тъй като

$\cos \pi =-1$

и

$\sin \pi =0,$

следва, че

$e^{i\pi }=-1+0i,$

което дава равенството на Ойлер:

$e^{i\pi }+1=0.$