Статистика на Бозе-Айнщайн

Статистиката на Бозе—Айнщайн описва разпределението на частиците между квантовите състояния на система от невзаимодействащи неразличими бозони.

Вълновата функция на система от бозони е симетрична относно размяната на частици. Поради тази симетрия бозоните не се подчиняват на принципа на Паули: в дадено квантово състояние може да има неограничен брой бозони от един и същи вид.

Статистиката на Бозе—Айнщайн изразява средния брой бозони, които заемат дадено квантово състояние на системата при дадени температура и химичен потенциал. Тя е въведена от Сатиендра Бозе през 1924 г., който я прилага върху фотони, а по-късно е обобщена от Алберт Айнщайн. .

Средният брой частици в квантовото състояние $k$ е:

${\overline {n_{k}}}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{k}-\mu )/k_{B}T}-1}}$,

където $\epsilon _{k}$ e енергията на квантовото състояние, $\mu$ e химичният потенциал, $k_{B}$ е константата на Болцман, а $T$ е абсолютната температура.

Понеже неравенството ${\overline {n_{k}}}\geq 0$ трябва да е изпълнено за всички $k$, включително за основното състояние, стойността на химичния потенциал трябва да е по-малка от енергията $\epsilon _{0}$ на основното състояние на системата:

$\mu <\epsilon _{0}$.

Нулевото ниво на енергията може да се избере произволно, затова често се прави изборът $\epsilon _{0}\equiv 0$. В такъв случай горното ограничение приема вида:

$\mu <0$.

За сравнение, химичният потенциал на газ на Ферми може да бъде както положителен, така и отрицателен, а при Болцманов газ е силно отрицателен.

От формулата за ${\overline {n_{k}}}$ е видно, че с намаляване на температурата все повече частици попадат в основното състояние. При достатъчно ниска температура почти всички частици се намират в основното състояние (Бозе—Айнщайнов кондензат).