Степенуване (математика)

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение

Произведението от n на брой равни множители a, където n е естествено число, се записва като aⁿ и се нарича степенуване на основа a на степен n. Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът $\;5^{3}$ се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат съответно още на квадрат и на куб. Така$\;5^{2}$ може да се прочете като пет на квадрат. Числата, получени при повдигането на квадрат на цяло число, се наричат точни квадрати.

Когато се работи с числа, обикновено се опростява: например 27 вместо$\;3^{3}$, но когато се работи с променливи, се използва$\;x^{6}$ вместо $\;xxxxxx$.

Следствия

• Число, повдигнато на степен 1, си остава същото ($\;a^{1}=a$).
• Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1 ($\;a^{0}=1$).
• Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му ($\;a^{-1}={1 \over a}$ при $\;a\neq 0$).
• Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия корен квадратен ($\;a^{\frac {1}{2}}={\sqrt {a}}$).
• При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.
• При повдигане на число на четна степен, резултатът винаги е положително число.

Друго

• Сборът на всички степени на числото 2 плюс 1 е равен на следващата степен на 2: 1 + 2⁰ + 2¹...+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ (за всяко цяло число n≥0).

Правила

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да заменим с това, което той означава. На трета означава да умножим три пъти, на четвърта – да умножим четири пъти. Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.

$\;(x^{3})(x^{4})=(xxx)(xxxx)=xxxxxxx=x^{7}$

Следователно $\;x^{7}$ е равно на $\;x^{(3+4)}$.

• Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

$\;(x^{m})(x^{n})=x^{(m+n)}$

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът $\;(x^{4})(y^{3})$ не може да се опрости, защото $\;(x^{4})(y^{3})=xxxxyyy=(x^{4})(y^{3})$ – и не е възможно комбинирането.

• Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза $\;{(x^{2})}^{4}$ с неговото значение - „на четвърта“ означава да се умножи четири пъти $\quad x^{2}$.

$\;{(x^{2})}^{4}=(x^{2})(x^{2})(x^{2})(x^{2})=(xx)(xx)(xx)(xx)=xxxxxxxx=x^{8}$.

Отново резултатът $\;x^{8}$ е равен на $\;x^{(2\times 4)}$

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произведението от стeпeнните показатели както в израза.

$\;{(x^{m})}^{n}=x^{(m\times n)}$.

• Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (хy)³, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

$\;{(xy^{2})}^{3}=(xy^{2})(xy^{2})(xy^{2})=(xxx)(y^{2}y^{2}y^{2})=x^{3}y^{6}=(x)^{3}{(y^{2})}^{3}$.

И още един пример:

$\;\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

$\quad (3+4)^{2}$ не може да стане$\quad 3^{2}+4^{2}=9+16=25$, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е $\quad (3+4)^{2}=(7)^{2}=49$.

По-добре е да се запише според това, че „на квадрат“ означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че $\;{(x-2)}^{2}=(x-2)(x-2)=xx-2x-2x+4=x^{2}-4x+4$. Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показатели

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от другата страна спрямо дробната черта и за да стане с положителна стойност, изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза $\;x^{-2}$ (хикс на минус втора) x е поставен в числителя $\;{\frac {x^{-2}}{1}}$ вместо в знаменателя, което е равно на $\;{\frac {1}{(x)^{2}}}$.

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:

$\;x^{-4}={\frac {1x^{-4}}{1}}={\frac {1}{x^{4}}}$

$\;{\frac {x^{2}}{x^{-3}}}={\frac {1x^{2}}{1x^{-3}}}={\frac {1x^{2}x^{3}}{1}}=x^{5}$

$\;2x^{-1}={\frac {2x^{-1}}{1}}={\frac {2}{x^{1}}}={\frac {2}{x}}$

Забележете, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x.

$\;(3x)^{-2}={\frac {(3x)^{-2}}{1}}={\frac {1}{(3x)^{2}}}={\frac {1}{9x^{2}}}$

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

$\;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {(y^{-3})^{2}}{(x^{-2})^{2}}}={\frac {y^{-6}}{x^{-4}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$

Същото може да се реши и така:

$\;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степени

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

$\;7^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{7}}^{2}=({\sqrt[{3}]{7}})^{2}$

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултатът не се променя. Например:

$\;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{3^{4}}}=3$

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.

$\;{\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}$

или

$\;{\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2$

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

$\;{\sqrt[{3}]{8}}=8^{\frac {1}{3}}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{81}}=81^{\frac {1}{4}}=3$

Така горните примери можем да запишем по следния начин:

$\;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}={(2^{3})}^{\frac {1}{3}}={(2^{\frac {3}{1}})^{\frac {1}{3}}}=2^{{\frac {3}{1}}\times {\frac {1}{3}}}=2^{1}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{(3)^{4}}}=(3^{4})^{\frac {1}{4}}=(3^{\frac {4}{1}})^{\frac {1}{4}}=3^{{\frac {4}{1}}\times {\frac {1}{4}}}=3^{1}=3$

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр. $\;15^{\frac {4}{5}}$ трябва да стане $\;15^{(4/5)}$, защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено $\;(15^{4})\div 5$.

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

$\;({\sqrt[{10}]{2}}5)^{5}=(25^{\frac {1}{10}})^{5}=25^{{\frac {1}{10}}\times {\frac {5}{1}}}=25^{\frac {1}{2}}={\sqrt {2}}5=5$

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

$\;3^{5,5}=3^{\frac {11}{2}}$

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например 3^π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

Вижте също

• Коренуване
• Логаритмуване

Външни препратки

• Оригиналната статия Exponents: Basic Rules е на The Purplemath