Теорема и вектор на Пойнтинг

Теорема на Пойнтинг или уравнение на Пойнтинг представлява енергийното уравнение на електродинамиката. Уравнението има следната обща диференциална форма:

Излъчване от дипол, показващо силата на електричното поле (цвят) и вектора на Пойнтинг (стрелки) в равнината.

${\mbox{div}}\,{\vec {S}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {1}{2}}({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}-{\vec {B}}\cdot {\vec {H}})\right]-{\vec {E}}(t,{\vec {r}})\cdot {\vec {j}}(t,{\vec {r}})$,

където ${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$ се нарича вектор на Пойнтинг. ${\vec {E}}$ и ${\vec {H}}$ са съответно интензитетите на електрическото и магнитното полета, ${\vec {j}}$ е токовата плътност.

През 1884 година Джон Хенри Пойнтинг (1852 – 1914) публикува теоремата в статията За пренасянето на енергия в електромагнитното поле в издание на кралското научно общество в Лондон [1]. Пойнтинг също предприема обширни експерименти за определяне на гравитационната константа.

Векторът на Пойнтинг има размерност на плътност на потока на енергията за единица време (с размерност [$W/m^{2}$]) и има посока, съвпадаща с посоката на разпространение на енергията на полето. Първият израз от дясната страна на уравнението показва степента на намаляване във времето на потенциалната или запасената енергия в разглежданата система. Изразът има две компоненти: едната е степента на промяна във времето на енергията на електрическото поле, а другата степента на промяна на запасената енергията на магнитното поле. Вторият израз в дясната част на уравнението съответства на източници на енергия, които могат да съществуват в разглеждания обем (токова плътност, породена от батерия или генератор в обема) или токова плътност, предизвикана от външни източници (индукционни токове). Трябва да се обърне внимание, че изразът ${\vec {E}}(t,{\vec {r}})\cdot {\vec {j}}(t,{\vec {r}})$ е положителен, когато съответства на източник в обема, и отрицателен при енергия, доставена от външен източник.

В интегрална форма уравнението на Пойнтинг се записва като:

$\oint _{(s)}{\vec {S}}{\vec {ds}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{(V)}\left[{\frac {\epsilon E^{2}}{2}}+{\frac {\mu H^{2}}{2}}\right]dv-\int _{(V)}{\vec {E}}\cdot {\vec {j}}dv$,

Уравнението се получава, използвайки изразите ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ (${\vec {D}}$ е векторът на електрическата индукция или плътността на електрическия поток) и ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$ (${\vec {B}}$ е векторът на магнитната индукция или плътността на магнитния поток), $\epsilon$ е диелектричната проницаемост и $\mu$ е магнитната проницаемост на средата. В този си вид уравнението изразява баланс на мощности, измервани във VA (за реактивната) и W (за активната мощност).

Векторът на Пойнтинг при електростатично поле е равен на нула. При такова поле няма електромагнитно излъчване.

Източници

• Сава П. Папазов, Самуил Л. Фархи. Теоретична електротехника, част 3. Държавно издателство Техника, 1988.
• Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.
• S. Brandt, H.D. Dahmen. Elektrodynamik. Springer, 2005.