Тетраедралното число или триъгълното пирамидално число е фигурно число , представляващо правилен тетраедър (триъгълна пирамида). Всяко n -то тетраедрално число се получава като сбор на първите n на брой триъгълни числа . Това се представя като:
Правилен тетраедър от 35 сфери
T
n
=
∑
k
=
1
n
k
(
k
+
1
)
2
{\displaystyle T_{n}=\sum _{k\mathop {=} 1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}}
или
T
n
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
{\displaystyle T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}}
Първите тетраедрални числа са:[1]
1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880…
Индуктивно формулата за n -тото тетраедрално число се доказва чрез формулата за триъгълно число
T
r
i
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle {\mathit {Tri}}_{n}={n(n+1) \over 2}}
n +1 се получава чрез добавяне на n +1 триъгълно число:
T
n
+
1
=
T
n
+
T
r
i
n
+
1
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
=
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
6
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}\quad &=T_{n}+Tri_{n+1}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}
Тетраедралните числа следват определена повторяемост едно нечетно число е следвано от три четни числа.
Има само 3 тетраедрални числа, които са същевременно и квадратни : T 1 = 1 = 1²T 2 = 4 = 2²T 48 = 19 600 = 140²Има само 5 тетраедрални числа, които са същевременно и триъгълни :[2] 1 , 10 , 120 , 1540 и 7140 .Сборът от две поредни тетраедрални числа (n -1 и n ) е равен на сбора от квадратите до n : T n -1T n n 2 Връзка с тригълника на Паскал
редактиране
1
1
1
1
2
1
1
_
3
3
1
_
1
4
_
6
4
_
1
1
5
10
_
10
_
5
1
1
6
15
20
_
15
6
1
1
7
21
35
_
35
_
21
7
1
{\displaystyle {\begin{array}{c}\\1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\{\underline {1}}\quad 3\quad 3\quad {\underline {1}}\\1\quad {\underline {4}}\quad 6\quad {\underline {4}}\quad 1\\1\quad 5\quad {\underline {10}}\quad {\underline {10}}\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad {\underline {20}}\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad {\underline {35}}\quad {\underline {35}}\quad 21\quad 7\quad 1\\\\\end{array}}}
Тетраедралните числа присъстват в триъгълника на Паскал на 4-то място (от ляво надясно или обратно) на всеки ред след 3-тия.
