Сумиращо ядро

Сумиращо ядро в $\mathbb {T}$ е редица $\{k_{n}:n\in \mathbb {Z} \}$ от непрекъснати функции $k_{n}$ в $\mathbb {T}$, които изпълняват следните условия.

• ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }k_{n}(t)\,dt=1$ (1)
• ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|k_{n}(t)|\,dt\leq const$ (2)
• за всяко $0<\delta <\pi$ е изпълнено

$\lim _{n\to \infty }\int _{\delta }^{2\pi -\delta }|k_{n}(t)|\,dt=0$. (3)

Положително сумиращо ядро е ядро, за което функциите са положителни, т.е.$k_{n}(t)>0$ за всяко t, n. За тях условието (2) е излишно.

Основно свойство на сумиращото ядро

Нека f бъде функция от $L^{1}(\mathbb {T} )$, а $\{k_{n}\}$ бъде сумиращо ядро. Тогава

$f=\lim _{n\to \infty }k_{n}\ast f=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }k_{n}(\tau )f(t-\tau )\,d\tau$

Сходимостта е в нормата на $L^{1}(\mathbb {T} )$.

Примери за сумиращо ядро

• Ядро на Фейер
• Ядро на Вале-Пусен
• Ядро на Поасон

Забележка

Ядрото на Дирихле не е сумиращо ядро, понеже не удовлетворява условията (2) и (3).