Отваря главното меню

Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)

Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Теорема на Болцано-Вайерщрас.

Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.

ДоказателствоРедактиране

Нека   и   Ако   има точка на сгъстяване  , то очевидно  .

Да допуснем, че   няма точка на сгъстяване. Тогава   околност   на  , такава че   съдържа само краен брой членове на  .

Тогава обединението   е покритие на интервала  . От теоремата на Хайне - Борел следва, че   има крайно подпокритие  , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на  . Но   има безбройно много членове в интервала  , което е противоречие и следователно   има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.