Триъгълно число

Триъгълно число[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата вдясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:

Първите шест триъгълни числа
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …

ФормулаРедактиране

Точната формула за триъгълно число е:

 ,

където   е биномен коефициент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.[2] За всяко триъгълно число   си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери  . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или:  . Например   се илюстрира по следния начин:

  (зелени плюс жълти) означава, че   (зелени).  

За доказателство се използва и математическата индукция.[3]

Връзка към други фигурни числаРедактиране

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

 

Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.

  • Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
 

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16   10 + 15 = 25  

Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

  с  

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:

  с   и  
  • Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:[4]
1, 10, 120, 1540 и 7140.

Триъгълни репдиджит числаРедактиране

Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.

Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

    Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Triangular number“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода и списъка на съавторите.