Триъгълно число

Първите шест триъгълни числа

Триъгълно число[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата вдясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …

ФормулаРедактиране

Точната формула за триъгълно число е:

 ,

където   е биномен коефициент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.[2] За всяко триъгълно число   си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери  . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или:  . Например   се илюстрира по следния начин:

  (зелени плюс жълти) означава, че   (зелени).  

За доказателство се използва и математическата индукция.[3]

Връзка към други фигурни числаРедактиране

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

 

Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.

  • Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
 

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16   10 + 15 = 25  

Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

  с  

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:

  с   и  
  • Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:[4]
1, 10, 120, 1540 и 7140.

Триъгълни репдиджит числаРедактиране

Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.

Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

    Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Triangular number“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода и списъка на съавторите.