Функция скобка

Функциите „скобки“ или функционални скобки са математически функции, с които се обозначават най-близките цели числа до дадено число или дробната му част.
С долни скобки $\lfloor x\rfloor$ или средни скобки $[x]$ се обозначава най-голямото цяло число, което не надвишава (тоест е по-малко от или равно на) $x$. Обратно, горните скобки $\lceil x\rceil$ обозначават най-малкото цяло число, което е по-голямо от или равно на $x$.
С големи скобки $\{x\}$ се обозначава дробната част на $x$. Във всички случаи $x$ е реално число.

Графика на функциите ⌅x⌆ и ⌇x⌈.

Долни скобки

Функцията „долни скобки“ (подови скобки, на английски: floor – под) или средни скобки е функция, която се обозначава с $\lfloor x\rfloor$ или $[x]$. Често в програмирането $\mathrm {floor} (x)$ се ползва вместо писмените обозначения.

Функцията е дефинирана по следния начин:

За едно реално число $x$, $\lfloor x\rfloor$ е най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на $x$.

или

$\lfloor x\rfloor :=\max \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\leq x\rbrace$

Обозначението $[x]$ е изобретено от Карл Фридрих Гаус.

Примери:

• $\lfloor 2,8\rfloor =2$
• $\lfloor -3,1\rfloor =-4$
• $\lfloor \pi \rfloor =3$
• $\lfloor e\rfloor =2$
• $\lfloor 5\rfloor =5$
• $\lfloor 4{\frac {1}{2}}\rfloor =4$
• $\lfloor -3{\frac {2}{5}}\rfloor =-4$

Свойства

1. За всяко цяло число $x$ ⇒ $[x]=x$.

2. Вярно е и обратното: Ако $[x]=x$, то $x$ е цяло.

3. За произволни реални числа $x$ и $y$ e изпълнено $\quad [x]+[y]\leqslant [x+y][x]+[y]\leqslant [x+y]$.

4. За произволни реални числа $x$ и $y$ цялата част на сбора

$[x+y]\leqslant [x]+[y]+1[x+y]\leqslant [x]+[y]+1$.

5. За произволно реално $x$ и цяло $n$, следва $\quad [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n$.

Горни скобки

Функцията „горни скобки“ (също изписана като ceiling) е дефинирана така:

За едно реално число $x$, $\lceil x\rceil$ е най-малкото цяло число, което е по-голямо или равно на $x$,

или

$\lceil x\rceil :=\min \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\geq x\rbrace$.

На български език индивидуални имена за горната скобка не са често срещани; в тази статия се ползва горни скобки с обратното име долни скобки, по подобен начин както $\mathrm {floor} (x)$ и $\mathrm {ceiling} (x)$ са обратни, означавайки буквално под и таван. Имената най-вероятно идват от действието на функциите: те са като горната и долната граница на цялата част на $x$.

Примерни стойности на $x$ и $\lceil x\rceil$ са:

• $\lceil 2,1\rceil =3$
• $\lceil -4,5\rceil =-4$
• $\lceil \pi \rceil =4$
• $\lceil e\rceil =3$
• $\lceil 1\rceil =1$
• $\lceil 6{\frac {2}{3}}\rceil =7$
• $\lceil -8{\frac {3}{4}}\rceil =-8$

Дробна част

Дробната част $\{x\}$ на реалното число $x$ е разликата между числото и цялата му част:

$\{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor$,

или $\quad \lfloor x\rfloor +\{x\}=x$.

От определението за дробна част следва, че $\quad 0\leq \{x\}<1$.

Примери:

• $\{3\}=0$
• $\{4,5\}=0,5$
• $\{\pi \}=0,1415926...$
• $\{e\}=0,718281828459...$
• $\left\{{\tfrac {11}{3}}\right\}={\tfrac {11}{3}}-3={\tfrac {2}{3}}$
• $\left\{-{\tfrac {11}{3}}\right\}=-{\tfrac {11}{3}}-\lfloor -{\tfrac {11}{3}}\rfloor =-3{\tfrac {2}{3}}-(-4)={\tfrac {1}{3}}$
• $\;\{-1,05\}=-1,05-\lfloor -1,05\rfloor =-1,05-(-2)=0,95$

Понякога $\{x\}$ се ползва само да означава частта на $x$, която е след десетичната запетая. Тогава последната примерна стойност е $\{-1,05\}=0,05$.