Хипотеза на Голдбах

Хипотезата на Голдбах (Goldbach's conjecture) е един от най-старите и най-известни неразрешени проблеми в теорията на числата, и изобщо в математиката. Тя гласи:

Четните цели числа от 4 до 28 като сбор от две прости числа: Четни цели числа съответстват на хоризонтални линии. За всяко просто число има две скосени линии, една червена и една синя. Сборът от две прости числа са точките на пресичане на една червена и една синя линия, обозначени с кръг. Така, кръгът на дадена хоризонтална линия изразява всички деления на съответстващите четни числа в сбора на две прости такива.

Начините, с които четно число може да бъдат представено като сбор от две прости числа.

Всяко четно число по-голямо от 2 може да бъде изразено като сбор от две прости числа.

Хипотезата е в сила до $4\times 10^{18}$, но остава недоказана въпреки значителните усилия.

Числото на Голдбах

Числото на Голдбах е цяло положително число, което може да бъде изразено като сбор от две нечетни прости числа.

Eдинственото четно просто число е две, а четири е единственото четно число по-голямо от 2, което е сбор от две прости числа, друга формулировка на израза на хипотезата на Голдбах, е че всички четни числа по-големи от 4 са числа на Голдбах.

Изразът на дадено четно число като сбор от две прости се нарича Голдбах partition на това число. Следните са примери за числа на Голдбах за някои четни числа:

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 7 + 5

...

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

...

Последователността от начини, в които 2n може да бъде изписано като сбор от две прости числа (за n започващ от 1) е:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5, 8, 5, 4, 9, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 10, 6, 6, 12, 4, 5, 10, 3, ... Шаблон:OEIS.

Произход

Писмо от Голдбах до Ойлер с дата: 7 юни 1742 г. (Latin-German).

На 7 юни 1742 г. немският математик Кристиан Голдбах написва писмо до именития си колега Леонард Ойлер(писмо XLIII), в което предлага следната хипотеза:

Всяко цяло число, което може да бъде записано като сбор от две прости числа, може също да бъде изписано като сбор от колкото прости числа пожелае човек, докато всички те не станат единици.

Продължения и обобщения

Класическото предположение на Голдбах за четните числа понякога се определя като 'силно', докато търдението, че всяко нечетно число се представя като сума от три прости, се нарича слабо. В действителност то е следствие от силното тъй като с добаването на 3 всички нечетни числа след 5 биха се представяли в този вид т.е. 2n + 3 = p + q +3, където p и q са прости. Слабото предположение е доказано строго от Харалд Хелфгот в 2013 г.

В 1894, Емил Льомоан е изказал предположение, което сега носи неговото име: всяко нечетно число след 3 може да бъде представено във вида 2p + q където p и q са прости.