Геометрична прогресия

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко следващо число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5, ... е с първи член 20 и частно 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...$ е в сила равенството $a_{n}=a_{n-1}q$, където $q\neq 0$ е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и нейното частно.

Формула за общия член

Формулата за $n$-тия член на прогресията е $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$.

Анализ на частното

• $q<0:$ ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа;
• $q>1:$ клоняща към плюс или минус безкрайност редица в зависимост от знака на първия член;
• $q<-1:$ могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност, а нечетните – към плюс безкрайност, или обратно в зависимост от знака на първия член;
• $0<q<1:$ редицата клони отгоре или отдолу към 0 в зависимост от знака на първия член;
• $-1<q<0:$ редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове;
• $q=1:$ редицата е съставена от константи, равни на първия член;
• $q=-1:$ редицата е съставена от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на поредния номер;
• $q=0:$ редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства

• $a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}$ за всяко $n\geq 2$, т. е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове. В сила е и обратното твърдение: ако $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

• Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия

Сумата на първите $n$ члена на геометричната прогресия е

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

или, разписана подробно,

$(1)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\dots +a_{1}q^{n-1}.$

Умножаваме двете страни на (1) с частното $q$ и получаваме

$(2)\,\,\,qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+\dots +a_{1}q^{n}.$

Изваждаме (2) от (1) и намираме

$(3)\,\,\,S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\Rightarrow (1-q)S_{n}=a_{1}(1-q^{n}).$

Сега, ако $q\neq 1$, веднага получаваме формулата за сбор на първите $n$ члена на геометрична прогресия:

$(4)\,\,\,S_{n}={a_{1}(1-q^{n}) \over (1-q)}.$

В частност при $q=1$ имаме $(5)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=\underbrace {a_{1}+a_{1}+\dots +a_{1}} _{n}=na_{1}.$

При $\left|q\right|<1$ прогресията е намаляваща и нейната $n$-та (частична, парциална) сума се дава с (4). Ако имаме още, че $n\to \infty$, то е изпълнено $q^{n}\to 0$ и тогава под сума на прогресията се разбира границата

$(6)\,\,\,\lim _{n\to \infty }{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}={\frac {a_{1}}{1-q}}.$

Равенството (6) е известно като сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Произведение на геометричната прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия е

$p_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdot \cdot \cdot a_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot a_{1}q\cdot a_{1}q^{2}\cdots a_{1}q^{n-1}.$

Оттук лесно получаваме, че $p_{n}=a_{1}^{n}q^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}$.

Сумата в степенния показател на $q$ е всъщност сума на аритметична прогресия с първи член $b_{1}=1$, разлика $d=1$ и последен член $b_{n-1}=n-1$ и е числено равна на ${\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}-n}{2}}.$ Така произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия (за която предполагаме, че са изпълнени условията $a_{1}\neq 0,\,\,q\neq 0$) се дава с формулата

$(7)\,\,\,p_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}.$

Вижте също

• Аритметична прогресия
• Томас Малтус