Барицентрични координати

Барицентричните координати са скаларни параметри, наборът от които еднозначно определя местоположението на точка в афинното пространство (при условие че в това пространство е избран определен точков базис) чрез препратка към симплекс. Барицентричните координати на точка могат да се интерпретират като маси, поставени във върховете на симплекса, така че точката да е центърът на масата на тези маси.

Точков базис (понякога се използва терминът „барицентричен координатен базис“) в $n$-мерно афинно пространство $A$ е система от $(n+1)$ точки $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$, за които се приема, че са афинно независими [т.е. не лежат в $(n-1)$-мерно подпространство на разглежданото пространство].

Всяка точка има барицентрични координати и тяхната сума никога не е нула.

Барицентрични координати (λ1,λ2,λ3) на равностранен триъгълник и на правоъгълен триъгълник

Определение

Нека $P$ е произволна точка в $A$. Всяка точка $M\in A$ може да бъде уникално представена като барицентрична комбинация

$M=P+\alpha _{0}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{0}+\alpha _{1}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{n};$

барицентричността на линейната комбинация от точки от дясната страна означава, че реалните числа $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ (комбинационни коефициенти) отговарят на условието

$\alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.$

Числата $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ се наричат ​​барицентрични координати на точка $M$. Лесно е да се види, че барицентричните координати не зависят от избора на точката $P$.

Горното равенство, написано в символиката на барицентричното смятане, може да бъде записано във вида:

$M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.$

Свойства

• Барицентричните координати на точките на симплекса върхове в $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ са неотрицателни и сборът им е равен на единица.
• Приравняването на нула на барицентричната координата $\alpha _{i}$ е еквивалентно на факта, че точката лежи в равнината, съдържаща лицето на симплекса, противоположно на върха $P_{i}$. Това свойство позволява да се разгледат барицентричните координати на точките на симплициален комплекс спрямо всички негови върхове.
• Две групи от барицентрични координати определят една и съща точка само ако са пропорционални; тоест, ако един кортеж може да бъде получен чрез умножаване на елементите на другия кортеж по същото ненулево число.
• За точка $X$, разположена вътре в триъгълника $ABC$, за барицентрични координати могат се приемат площите на триъгълниците $(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$.
• Барицентричните координати са тясно свързани с трилинейните координати. А именно, ако $(\alpha :\beta :\gamma )$ са барицентричните координати на точка $X$ спрямо триъгълника $ABC$ и $a,b,c$ са дължините на неговите страни, тогава

$(x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)$

са неговите трилинейни координати. Трилинейните координати, подобно на барицентричните, се определят с точност до пропорционалност.

• Точка $M$ е центърът на масите на тежести с маси $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$, разположени в точки $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$.

Вижте също

• Афинно пространство
• Афинни преобразования
• Трилинейни координати

Литература

1. Балк М. Б., Болтянский В. Г. – Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. — 160 с. — (Библиотечка «Квант». Вып. 61).
2. Кострикин А. И., Манин Ю. И. – Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
3. Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
4. Scott, J. A. – Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
5. Schindler, Max; Chen, Evan (July 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). Retrieved 14 January 2016.
6. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19. Retrieved 2012-06-02.
7. Bradley, Christopher J. – The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. (2007) ISBN 978-1-906338-00-8.
8. Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0. Zbl 0181.48101.
9. Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
10. Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
11. Weisstein, Eric W. "Areal Coordinates". MathWorld.
12. Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld.
13. Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008.

Външни препратки

• Три забележителни точки – Барицентрични координати, стр. 7–8.
• О барицентрических координатах на пальцах, 14.Х.2019.
• BG A.7.17 Барицентрические координаты? Это просто!, YouTube.
• Law of the lever.
• The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry.
• Barycentric Coordinates – сборник от научни статии за (обобщени) барицентрични координати.
• Barycentric coordinates: A Curious Application (решаване на проблема с „трите чаши“) в образователния сайт „Разрежете възела“ (cut-the-knot).
• Accurate point in triangle test.
• Evan Chen and Max Schindler – Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry Архив на оригинала от 2014-08-18 в Wayback Machine..
• Barycenter command and TriangleCurve command, Geogebra.