Биномен коефициент на естествените числа k и n е броят на всички възможни k-елементни подмножества на дадено n-елементно множество. Биномният коефициент е естествено число и се дефинира като:

за 0 ≤ kn

и за k > n, k < 0

Символът се чете " n над k ".

Също така за 1 ≤ kn важи следното:

където с m! е означен факториелът на m.

Биномните коефициенти получават името си от развитието на бинома

Формули, свързани с биномните коефициентиРедактиране

Тези формули се използват често в задачи от комбинаториката и теорията на вероятностите.

 

Това следва директно от дефиницията. Други формули са

 
 

Следва формулата на Вандермонд

 

Сродни са формулите

 
 

Като означим числата на Фибоначи с F(n + 1), получаваме формула за диагоналите на триъгълника на Паскал

 

Това може да се докаже с индукция.

Триъгълник на ПаскалРедактиране

Триъгълникът на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през XVII век. Намерен е и в китайски писмени източници от XI век.

Всеки елемент – в n-ти ред на k-та позиция – в триъгълника притежава аритметично и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с   - чете се (биномен коефициент) n над k, или   – комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

 

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

Коефициенти до десети редРедактиране

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:

Обобщение за отрицателни числаРедактиране

Дефиницията на биномните коефициенти може да бъде разширена за отрицателни числа по следния начин:

 

за r ≥ 0, n ≥ 0,

 

и

 

ако n ≥ 0, r < 0 или r > n.

Обобщение за реален и комплексен аргументРедактиране

Биномният коефициент   може да бъде дефиниран за всяко комплексно число z и за всяко естествено число k по следния начин:

 

Това обобщение е известно като обобщен биномен коефициент и се използва при формулирането на биномната теорема.

ИзточнициРедактиране

Binomial coefficient – статия в Уикипедия на английски език [16 февруари 2008].

Вижте същоРедактиране

Триъгълник на Паскал

Външни препраткиРедактиране