В математиката множеството представлява съвкупност от различни обекти, наричани още елементи, която се разглежда като едно цяло.[1] Елементите в множествата не могат да се повтарят и не са подредени по специален ред. Множествата са едни от най-важните обекти в математиката, въпреки че са въведени за първи път едва в края на XIX век. Математическата дисциплина, която разглежда изучаването на тяхната структура и свойства, се нарича теория на множествата. Цялата съвременна математика се изгражда логически на нейна основа.

Дефиниции

редактиране

Интуитивно, множеството представлява съвкупност от обекти. Обектите се наричат негови елементи и се казва, че принадлежат на множеството. Например, числото 1 е елемент на множеството ⭐️на естествените числа, София принадлежи на множеството на всички световни столици.

Наредбата на елементите и броят на срещанията на даден елемент в множеството са без значение. Две множества A и B са равни, когато имат едни и същи елементи (тоест всеки елемент на A е елемент и на B и обратно). С теоретично значение се въвежда понятието празно множество, което представлява множество без елементи.

Горната дефиниция не е напълно коректна, защото използва понятието съвкупност, без да го дефинира. Всеки опит за точно дефиниране на съвкупност би довел до кръгова дефиниция. Поради това в математиката понятията множество и принадлежи се приемат за първични и не се дефинират строго. Всички други математически понятия могат да бъдат строго дефинирани, използвайки само тези два термина. Например елемент на множеството A се дефинира като всяко множество B, което принадлежи на A.

Подмножество

редактиране

Множеството   се нарича подмножество на множеството  , когато всеки елемент на   е елемент и на  .[2] Това означава, че от   следва  , както и че от   следва  . Когато   е подмножество на  , се пише   или  .

Празно множество

редактиране

Празното множество   въобще няма елементи и поради това е ясно, че за всеки обект   е в сила  . Празното множество е подмножество на всяко множество – изпълнено е включването   за всяко множество  .

Описание

редактиране

Едно множество се описва по два начина – с изброяване на елементите му или със задаване на условие, което те удовлетворяват.

Свойства

редактиране

Равенство

редактиране

Две множества са равни тогава и само тогава, когато всеки елемент на едното е елемент и на другото.

Крайност и безкрайност

редактиране

Едно множество се нарича крайно, ако то съдържа n на брой елемента, където n е естествено число (може да бъде и 0). В противен случай, множеството се нарича безкрайно (виж. също дефиниция на безкрайно множество по Дедекинд).

Равномощност

редактиране

Две множества се наричат равномощни, когато съществува взаимноеднозначно изображение между тях. Например в случая на множества с краен брой елементи това означава те да съдържат равен брой елементи.

Изброимост

редактиране

Едно безкрайно множество се нарича изброимо, когато е равномощно на множеството на естествените числа.

Действия с множества

редактиране

Сечение ( )

редактиране

Под сечение на две множества А и В разбираме множеството   и   .

За операцията сечение на множестваважат комутативният и асоциативният закон;

  .

 .

Обединение ( )

редактиране

Под обединение на две множества А и В се разбира множеството   или  .

За действието обединение важат комутативния и асоциативният закон:

-  .

-  .

Между операциите обедиенение и сечение важат дистрибутивните закони (разместителното свойство в математиката):

-  .

-  .


 
  (Сечение)
 
  (Обединение)
 
 

Вижте също

редактиране

Източници

редактиране