Вариационно смятане

Вариационно смятане (вариационни изчисления) или вариационен анализ, като дял от математическия анализ, изучава малките вариации във функциите и функционалите,
и методите за намиране на техни eкстремуми - maxima и minima (локални и глобални) като се изобразяват математически набор от техните функции към реални числа, като център на тези изчисления е уравнението на Ойлер-Лагранд

,

за

като уравнение на Лагранж от класическата механика.

Функционал е изображение между множество от функции и множество от числа. Типичен пример за функционал е определеният интеграл. Вариационното смятане намира широко приложение – от чисто практични дисциплини като оптиката – до по-нестандартни, като топологията.

Задачи по намиране на екстремали на функции, криви и други, които минимизират даден функционал, възникват в геометрията и механиката. Вариационното смятане е започнато през XVII век от Ойлер и Лагранж [1]. Исторически първата задача на вариационното смятане е задача за брахистохроната, поставена още от Галилей. През началния период са решени много конкретни задачи. Особено значение при участието на учени като Готфрид Лайбниц и Йохан Бернули има задачата за геодезичните линии и изопериметричната задача. Понятието геодезична линия обобщава понятията права линия и отсечка от евклидовата геометрия, когато тримерното евклидово пространство се заменя с повърхнина или пространство от по-общ вид. По-точно геодезичните линии, които съответстват на понятието права линия и се касае за функция, чиято дефиниционна област не се състои от числа, а е множество от обекти, напр. определен вид криви, функции, някакви състояния на дадена механична система.

Вариационното смятане е съществено свързано с класическата механика. Връзката се съдържа в т. нар. вариационни принципи на механиката. Съвременното вариационно смятане има две главни направления: глобално вариационно смятане и теория на оптималното управление. Първото е свързано с топологията. Развива се през XX век (затворени геодезични линии върху риманово многообразие, неравенства на Морс). Другото направление възниква след Втората световна война и в зародишна форма е подбудено от инженерни проблеми на ракетна техника; сега е в разцвета си. Обобщено е в различни направления, напр. във връзка с диференциалната геометрия върху диференцируеми многообразия и многомерни повърхнини, във връзката със случайните процеси (клон от теорията на вероятностите). Много съвременни математици от 60-те години на XX в. – американският математик Р. Белман, съветският Л. Понтрягин и други имат принос в тази дисциплина.

ИзточнициРедактиране

  1. Euler, Elementa calculi variationum, The Elements of the Calculus of Variations

БиблиографияРедактиране

Външни препраткиРедактиране

  • Моисеев Н.Н., глав. ред. Прохоров А.М. Вариационное исчисление. // Большая советская энциклопедия. 3 изд. Т. 4 (от 30), Брасос – Веш. Москва, Издателство „Съветска енциклопедия“, 1971. с. 303-305. Посетен на 29 март 2017. (на руски)((ru))