Джонсоново тяло

Джонсоново тяло е изпъкнал многостен, чиито стени са правилни многоъгълници, без той да е еднообразен. Възможните видове са 92 и списъкът им е публикуван от Норман Джонсон в 1966 г.[1] По дефиниция не са джонсонови Платоновите и Архимедовите тела, нито призмите или антипризмите - при всички тях върховете са еднотипни (т.е те са едноообразни). Възможни форми за стените ca правилните равнинни фигури с 3,4,5,6,8 или 10 страни. Изискването за изпъкналост ограничава броят на стени, срещащи се във връх, до числата 3, 4 или 5. Номенклатурата на Джонсоновите тела допуска синонимия без да е двусмислена. Употребима е стандартна номерация J1 до J92.

Именуване и КласификацияРедактиране

Повечето джонсонови тела могат да бъдат видяни като модификации на еднообразните тела изключени от класа. Така например телата с номера J58-61 се получават с построване на петстенни прирамиди, върху някои от стените на додекаедър, която се явява като тяхна основа:

J58 J59 J60 J61
       
надстроен додекаедър пара-дву-надстроен додекаедър мета-дву-надстроен додекаедър три-надстроен додекаедър
       
додекаедър и петстенна пирамида
   

Всички джонсонови тела имат триъгълни страни, така че според една възможна класификация те биват разглеждани като комбинациите на този базисен и тип и останалите допустими правилни многоъгълници (4,5,6,8, 10 страни), общо 9 класа:

  • 3 : 5 вида
  • 3+4 : 24 вида
  • 3+5 : 11 вида
  • 3+4+5 : 20 вида
  • 3+4+6 : 8 вида
  • 3+4+8 : 5 вида
  • 3+5+10 : 2 вида {J6, J25}
  • 3+4+5+6 : 1 вид J92
  • 3+4+5+10 : 16 вида

Пълното описание на джонсоновите тела включва номер, наименование, брой върхове (S), ръбове (Е), брой стени, общо и по видове (F и F3-10), симетрия, както е показано в таблицата по долу за първите шест.

No Име Картинка Tип S Е F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Симетрия
J1 квадратна пирамида   пирамида 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
J2 петстенна пирамида   пирамида 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
J3 шестоъгълен купол   купол 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
J4 осмоъгълен купол   купол 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
J5 десетоъгълен купол   купол 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
J6 десетоъгълна ротонда   ротонда 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

За 25 от джонсоновите тела може да се намери сфера, върху която да лежат всички техни върхове: J 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83.

През 1969 г. Виктор Залгалер доказва, че освен изброените от Норман Джонсон 92 тела няма други в същия клас. [2]

ИзточнициРедактиране

  1. Johnson, Norman W.. Convex polyhedra with regular faces. // Canadian Journal of Mathematics 18. 1966. DOI:10.4153/cjm-1966-021-8. с. 169–200.
  2. Залгалер, Виктор A.. . Выпуклые многогранники с правильными гранями. // Зап. Науч. Семин. ЛOMИ Стеклов 2. 1967. с. 1–221.