Модул (теория на пръстените)
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
- Вижте пояснителната страница за други значения на Модул.
В теория на пръстените модул над пръстен или -модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и Абелева група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.
Формални определения
редактиранеНека е комутативен пръстен с единица (елементите на наричаме скалари) и е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). ще наричаме -модул, ако на всеки елемент и на всеки елемент се съпоставя елемент (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми :
- .
Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.
Ако не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно и ), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.
Подмодул на ще наричаме всяка подгрупа на , затворена относно скаларното умножение. Тъй като групата на M е абелева, то N е нормална подгрупа и са възможни конструкции като факторизация.
Анулатор на ще наричаме множеството . За разлика от линейни пространства, където е изпълнено единствено при или , тоест в ненулево пространство , то при модулите са възможни аномалии, при които ненулев скалар и ненулев вектор дават 0 при скаларно умножение. Например, в модула от остатъци по модул n над пръстена от целите числа , за всеки елемент е изпълнено, че , и .
Примери
редактиране- Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
- Всяка абелева група е -модул, където умножението с число n се дефинира като n-кратното събиране на елемент със себе си при n>0, като при n<0 се взима обратният елемент на този сбор.
- Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен , е -модул.
- Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие образува модул над (пръстена на гладките функции действащи от върху ).
Видове модули
редактиране- Свободен модул е директна сума на n копия на .
- Цикличен модул е модул, породен от един елемент.
- Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида . Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул , .
- Точен модул е модул, за който .
- Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули, различни от нулевия и самия себе си.