Модул (теория на пръстените)

Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Модул.

В теория на пръстените модул над пръстен или -модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и Абелева група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определенияРедактиране

Нека   е комутативен пръстен с единица   (елементите на   наричаме скалари) и   е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+').   ще наричаме  -модул, ако на всеки елемент   и на всеки елемент   се съпоставя елемент   (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми  :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  .

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако   не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно   и  ), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на   ще наричаме всяка подгрупа   на  , затворена относно скаларното умножение.

Анулатор на   ще наричаме множеството  .

ПримериРедактиране

  • Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
  • Всяка абелева група е  -модул.
  • Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен  , е  -модул.
  • Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие   образува модул над   (пръстена на гладките функции действащи от   върху  ).

Видове модулиРедактиране

  • Свободен модул е директна сума   на n копия на  .
  • Цикличен модул е модул породен от един елемент.
  • Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида  . Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул  ,  .
  • Точен модул е модул, за който  .
  • Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули различни от нулевия и самия себе си.