Монотонна функция

Монотонна функция е функция, която винаги или не намалява, или не нараства. Ако функцията f(x) е или нарастваща, или намаляваща в интервал [a,b], тя се нарича монотонна в този интервал. Казваме че функцията f(x) е нарастваща в затворен интервал [a,b], ако $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ за всяко $x_{1}<x_{2}$.

Функцията се нарича намаляваща ако $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ за всяко $x_{1}<x_{2}$.

Функцията е строго растяща ако имаме строго неравенство $f(x_{1})<f(x_{2})$

Функцията е строго намаляваща: $f(x_{1})>f(x_{2})$

Теорема (необходимо условие за монотонност): Ако функцията f(x) е растяща (намаляща) и диференцируема, то производната и f'(x)≥0 (f'(x)≤0) в отворения интервал (а,b).

Теорема (достатъчно условие): Ако f(x) е диференцируема и нейната производна f'(x)>0(<0) в отворения интервал (а,b), то f(x) е строго растяща (намаляща) в (а,b).