Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м overlinking |
добавки по ен: |
||
Ред 294:
=== Редове на Тейлър ===
[[Файл:Taylor approximation of natural logarithm.gif|мини|Ред на Тейлър за {{math|ln(''z'')}}, центриран в {{math|''z'' {{=}} 1}}: анимацията показва първите 10 приближения, заедно с 99-то и 100-то – приближенията не са сходящи отвъд разстояние 1 от центъра|alt=Анимация, показваща все по-добри приближения към диаграмата на логаритъм]]
За всяко реално число {{mvar|z}}, за което {{math|0 < ''z'' < 2}}, е вярна следната формула:{{hrf|Abramowitz|1972|68}}
:<math>
\begin{align}\ln (z) &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k}
\end{align}
</math>
Това е начин да се каже, че {{math|ln(''z'')}} може да се изчисли приблизително до все по-точна стойност чрез следните изрази:
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
Например, за {{math|''z'' {{=}} 1.5}} третото приближение дава 0.4167, което е с около 0.011 по-голямо от {{math|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}. Този числов ред се приближава към {{math|ln(''z'')}} с произволна точност, стига броят на събираемите да е достатъчно голям – {{math|ln(''z'')}} е [[граница (математика)|границата]] на реда, който е [[ред на Тейлър]] за естествения логаритъм при {{math|1=''z'' = 1}}. Редът на Тейлър за {{math|ln(''z'')}} е особено полезно приближение на {{math|ln(1+''z'')}} за малки стойности на {{mvar|z}} – {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}}, - тъй като за тях:
:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.
</math>
Например, за {{math|1=''z'' = 0.1}} приближението от първи ред дава {{math|ln(1.1) ≈ 0.1}}, което се отклонява само с 5% от точната стойност 0.0953.
=== Други степенни редове ===
| |||