Координатна система: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Vodnokon4e (беседа | приноси) Редакция без резюме |
корекции |
||
Ред 54:
[[Файл:Coordonnees polaires plan.png|мини|210px|Полярна координатна система]]
Друга често използвана координатна система, използвана само в равнинно двуизмерно пространство, е [[
Полярната координатна система включва точка в равнината (наричана ''начало'' или ''полюс'' на
* полярната координата ''r'' на ''M'' е равна на разстоянието между точките ''M'' и ''О''
* полярната координата ''Θ'' на ''M'' е ъгълът, между полярната ос <math>\vec{o}</math> и лъча <math>\vec{OM}</math>
Ъгловата координата ''Θ'' обикновено се измерва в [[радиан]]и, а по традиция посоката на въртене от полярната ос към точката ''M'', съответстваща на положителни стойности на ъгъла, е обратната на часовниковата стрелка. Полюсът на координатната система ''O'' има координати (0, ''Θ'') за произволна стойност на ''Θ''. За да се постигне взаимна еднозначност между точката и нейните координати, ъгълът се ограничава между определени стойности, най-често в интервала [-''π'', ''π'').
Формулите, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:
Ред 71:
В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от [[Албрехт Дюрер]] (1525), [[Исак Нютон]] и [[Якоб Бернули]] (1691). Първи [[Леонард Ойлер]] през 1748 година стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд ''„Analysis infinitorum“'' се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини „полюс“ и „полярни координати“ навлизат едва през XIX век с работите на [[Гаспар Монж]] и школата му. Полярният ъгъл ''Θ'' така и не получава устойчиво название: наричан е „аномалия“, „амплитуда“, „азимут“ и дори „аргумент“.
=== Цилиндрична координатна система ===
[[Файл:Coordonnees cylindriques.png|мини|210px|Цилиндрични координати]]▼
Цилиндричната координатна система е разширение на концепцията на полярните координати за случая на тримерно пространство. Към двете координати на полярната система, тя добавя трета, равна на разстоянието между точката и равнината, в която се измерват полярните координати.
Цилиндричната координатна система се дефинира от точка ''О'' (полюс), нулев лъч <math>\vec{o}</math> и перпендикулярен втори лъч през точка ''O'' – <math>\vec{\nu}</math>. В тази система произволна точка ''М'' в тримерното пространство има цилиндрични координати (<math>r, \theta, h</math>), дефинирани по следния начин:
* цилиндричната координата ''r'' (радиус на цилиндъра) на ''M'' е равна на разстоянието от точка ''О'' до [[ортогонална проекция|ортогоналната проекция]] на точка ''M'' в равнина, преминаваща през ''O'' и перпендикулярна на <math>\vec{\nu}</math>
* цилиндричната координата ''Θ'' на ''M'' е ъгълът, образуван от лъча <math>\vec{o}</math> и радиус-вектора на ортогоналната проекция на ''M'' в равнина, преминаваща през ''O'' и перпендикулярна на <math>\vec{\nu}</math>
* цилиндричната координата ''
Този вид координати са наречени
Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:▼
* <math>x = r . cos\theta </math>▼
* <math>y = r . sin\theta </math>▼
* <math>z = h</math>▼
:* <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>▼
:* <math>tg\theta = \frac{y}{x}</math> (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)▼
:* <math>h = z</math>▼
Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът
=== Сферична координатна система ===
[[Файл:Spherical-coordinates-1.png|мини|210px|Сферични координати]]
Сферичните координати са ''пространствени полярни'' координати. Те са един от видовете тримерни пространствени координати.
За разлика от цилиндричните координати, които се състоят от два скалара и един ъгъл, сферичните са един скалар и два ъгъла.
'''Дефиниция 1, математическа''': Нека в пространството е отбелязана точка '''О''', която използваме за ''полюс'' (начало на полярна координатна система). Чрез два [[перпендикуляр]]ни лъча '''e<sub>1</sub>'''<sup>→</sup> и '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup>, минаващи през т. '''О''', се задават съответно ''нулева'' и ''северна'' посока на системата. Установява се и ''положителна'' посока на въртене по отношение на лъча '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup>, наричан още ''полярна ос''. Равнината, определена от двата лъча, се нарича ''първична меридианна равнина''. Равнината, която минава през лъча '''e<sub>1</sub>'''<sup>→</sup> и е перпендикулярна на лъча '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup>, се дефинира като ''екваториална равнина''.
Line 106 ⟶ 130:
Независимо че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от XVIII в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от [[Лагранж]] през [[1773]] г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през [[1881]] г.
▲[[Файл:Coordonnees cylindriques.png|мини|210px|Цилиндрични координати]]
▲* цилиндричната координата '''r''' на '''M''' е равна на разстоянието от т. '''О''' до проекцията на т. '''M''' в равнината (радиус на цилиндъра).
▲Този вид координати са наречени ''цилиндрични'', понеже '''r''' играе ролята на радиус на цилиндър, а '''h''' – на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните – от един скалар и два ъгъла.
▲Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:
▲* <math>x = r . cos\theta </math>
▲* <math>y = r . sin\theta </math>
▲* <math>z = h</math>
▲:* <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
▲:* <math>tg\theta = \frac{y}{x}</math> (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
▲:* <math>h = z</math>
▲Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът '''O''' на цилиндричната, а лъчите '''x'''<sup>→</sup> и '''z'''<sup>→</sup> от декартовата съвпадат съответно с '''o'''<sup>→</sup> и '''ν'''<sup>→</sup> от цилиндричната.
== История ==
| |||