Координатна система: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
добавки по ен: |
добавки и подреждане на трансформациите |
||
Ред 60:
* полярната координата ''Θ'' на ''M'' е ъгълът, между полярната ос <math>\vec{o}</math> и лъча <math>\vec{OM}</math>
Ъгловата координата ''Θ'' обикновено се измерва в [[радиан]]и, а по традиция посоката на въртене от полярната ос към точката ''M'', съответстваща на положителни стойности на ъгъла, е обратната на часовниковата стрелка. Полюсът на координатната система ''O'' има координати (0, ''Θ'') за произволна стойност на ''Θ''. За да се постигне взаимна еднозначност между точката и нейните координати, ъгълът се ограничава между определени стойности, най-често в интервала [-''π'', ''π'').
* <math>x = r . cos\theta</math>▼
* <math>y = r . sin\theta</math>▼
:* <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>▼
:* <math>tg\theta = \frac{y}{x}</math> (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката).▼
Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса '''O''' и когато положителната посока на оста '''x'''<sup>→</sup> съвпадне с положителната посока на лъча '''o'''<sup>→</sup>.▼
В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от [[Албрехт Дюрер]] (1525), [[Исак Нютон]] и [[Якоб Бернули]] (1691). Първи [[Леонард Ойлер]] през 1748 година стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд ''„Analysis infinitorum“'' се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини „полюс“ и „полярни координати“ навлизат едва през XIX век с работите на [[Гаспар Монж]] и школата му. Полярният ъгъл ''Θ'' така и не получава устойчиво название: наричан е „аномалия“, „амплитуда“, „азимут“ и дори „аргумент“.
Line 82 ⟶ 74:
Този вид координати са наречени цилиндрични, понеже ''r'' играе ролята на радиус на цилиндър, а ''h'' – на неговата височина.
* <math>x = r . cos\theta </math>▼
* <math>y = r . sin\theta </math>▼
* <math>z = h</math>▼
:* <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>▼
:* <math>tg\theta = \frac{y}{x}</math> (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)▼
:* <math>h = z</math>▼
Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът ''O'' на цилиндричната, а лъчите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> от декартовата съвпадат съответно с <math>\vec{o}</math> и <math>\vec{\nu}</math> от цилиндричната.▼
=== Сферична координатна система ===
Line 110 ⟶ 92:
Като първо приближение ъгловите сферични координати могат да се ползват и като [[географски координати]], но отклонението на [[Геоид|формата на Земята]] от математическата [[сфера]] води до значителни неточности, поради което обикновено в географията и геодезията се използват специализирани координатни системи.
[[Файл:Spherical-coordinates.png|мини|210px|Сферични координати]]▼
* <math>x = r . cos\varphi . cos\theta</math>▼
* <math>y = r . cos\varphi . sin\theta</math>▼
* <math>z = r . sin\varphi</math>▼
:* <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>▼
:* <math>tg\theta = \frac{y}{x}</math>(придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)▼
:* <math>tg\varphi = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}</math>▼
Тези формули са валидни, когато началото на двете координатни системи съвпада и когато положителните посоки на осите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> съвпадат съответно с посоките на лъчите <math>\vec{e_1}</math> и <math>\vec{e_2}</math>.▼
Независимо че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от XVIII в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от [[Лагранж]] през [[1773]] г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през [[1881]] г.
Line 153 ⟶ 122:
* [[Барицентрична координатна система]] – използвана в анализа на [[триъгълник|триъгълници]]
* [[Трилинейна координатна система]] – използвана в контекста на триъгълниците
== Преобразуване на координати ==
{{основна|Преобразуване на координати}}
Геометричните обекти могат да бъдат описвани в множество различни координатни системи, като вече известните координати на даден обект в определена координатна система могат да бъдат преобразувани в координати в друга координатна система, обикновено чрез система от формули, задаващи връзката между двете системи. Например, ако в равнината има зададени декартова и полярна координатна система с общо начало и абсциса, съвпадаща с полярната ос, декартовите координати (''x'', ''y'') могат да се получат от полярните координати (''r'', ''θ'') чрез зависимостите ''x'' = ''r'' cos''θ'' и ''y'' = ''r'' sin''θ''.
=== Към декартови координати ===
; От полярни координати:
▲* <math>x = r . cos\theta</math>
▲* <math>y = r . sin\theta</math>
▲Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса '''O''' и когато положителната посока на оста '''x'''<sup>→</sup> съвпадне с положителната посока на лъча '''o'''<sup>→</sup>.
; От цилиндрични координати
▲* <math>x = r . cos\theta </math>
▲* <math>y = r . sin\theta </math>
▲* <math>z = h</math>
▲Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът ''O'' на цилиндричната, а лъчите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> от декартовата съвпадат съответно с <math>\vec{o}</math> и <math>\vec{\nu}</math> от цилиндричната.
; От сферични координати
▲[[Файл:Spherical-coordinates.png|мини|210px|Сферични координати]]
▲* <math>x = r . cos\varphi . cos\theta</math>
▲* <math>y = r . cos\varphi . sin\theta</math>
▲* <math>z = r . sin\varphi</math>
▲Тези формули са валидни, когато началото на двете координатни системи съвпада и когато положителните посоки на осите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> съвпадат съответно с посоките на лъчите <math>\vec{e_1}</math> и <math>\vec{e_2}</math>.
=== Към полярни координати ===
; От декартови координати
▲
Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса '''O''' и когато положителната посока на оста '''x'''<sup>→</sup> съвпадне с положителната посока на лъча '''o'''<sup>→</sup>.
=== Към цилиндрични координати ===
; От декартови координати
▲
Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът ''O'' на цилиндричната, а лъчите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> от декартовата съвпадат съответно с <math>\vec{o}</math> и <math>\vec{\nu}</math> от цилиндричната.
=== Към сферични координати ===
▲
Тези формули са валидни, когато началото на двете координатни системи съвпада и когато положителните посоки на осите <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{z}</math> съвпадат съответно с посоките на лъчите <math>\vec{e_1}</math> и <math>\vec{e_2}</math>.
== История ==
| |||