Крива: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м дребни |
|||
Ред 6:
През всички етапи на развитие на математиката дефинирането на понятието крива е създавало известни логически и технически трудности, поради което съществуват различни дефиниции в различните клонове на [[геометрия]]та.
За нуждите на елементарната (училищна) геометрия не се дава обща дефиниция, а кривите се разглеждат самостоятелно, обикновено като [[геометрично място на точки]] или в рамките на задачи за [[построения с линийка и пергел]]. Дефинирани са [[права]]та, коничните сечения и някои други прости видове криви. Прави се същественото уточнение, че кривите са [[линия|линии]], които не са начупени.
Математиците през всички епохи обаче са се опитвали да обобщят понятието, като на преден план изведат общите характеристики и свойства на кривите.
Ред 12:
* В древността първият опит за определение на кривата дава [[Евклид]], който я нарича ''"дължина без широчина"''. Важно е да се знае, че античните математици са постигнали поразителни успехи в изучаването на цял клас криви, известни като [[конични сечения]] - елипса, парабола, хипербола. Въпреки очевидните разлики между техните графики, общата им математическа природа е открита още около 340 г. от един от учителите на [[Александър Македонски]], Менехъм, и от Аполоний от Пергам.
* След резултатите на гръцките математици до 3 - 4 век, в изучаването на кривите настъпва пауза от 12 века, през които не е направено нито едно откритие, до [[1522]] г. когато Йоханес Вернер изследва някои свойства на окръжността. Определящо се оказва навлизането в геометрията на методите от анализа и [[алгебра]]та: разграничени са отделните видове криви (равнинни, пространствени), което е предпоставка за по-обобщена дефиниция на понятието крива. От периода 16 - 18 век датира доста по-общото определение, използвано в [[аналитична геометрия|аналитичната геометрия]]: ''"Равнинна крива е множество от решения на уравнения с две неизвестни от вида F(x,y) = 0"''. Пространствените криви се представят с две уравнения на три неизвестни: F(x,y,z) = 0, G(x,y,z,) = 0. <br />В [[Математически анализ|математическия анализ]] кривата може също да се разглежда и като траектория на движеща се материална точка. За целта се представя в параметричен вид с уравнения от вида <math>x = \varphi(t) , y = \psi(t)</math>, където <math>\varphi(t) , \psi(t)</math> са произволни функции в някакъв интервал от [[реално число|реалната]] числова ос t<sup>→</sup>. В тримерно пространство кривите се изразяват чрез три функции, но отново на един параметър.
* През 1882 г. [[Камий Жордан]] дава друга дефиниция: ''"Кривата е непрекъснат образ на интервал в равнина."'' Тази дефиниция (на ''"жорданова крива"'', както е наречена по-късно) макар и прецизна, е твърде отдалечена от интуитивната представа на Евклид, тъй като позволява да се наричат криви такива обекти като [[крива на Пеано|кривата на Пеано]], която изпълва площта на цял [[квадрат]]. Дефиницията на Жордан е [[топология|топологическа]] дефиниция.
== Класификация ==
===В зависимост от размерността на пространството===
Line 32 ⟶ 28:
:* Пространствената алгебрична крива се задава се задава със системата уравнения F(x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0, където F(x,y,z) и G(x,y,z) са полиноми на x,y,z. Пространствената алгебрична крива още се дефинира като сечение на две алгебрични повърхнини.
* '''Трансцендентни криви''' - криви, които не са алгебрични, т.е. когато функциите не са полиноми, а [[Тригонометрична функция|тригонометрични]], обратни тригонометрични, показателни, [[Логаритъм|логаритмични]], [[хиперболична функция|хиперболични функции]]. В този случай дефиниционната област на реалнозначните функции може да се разшири до цялата [[комплексна равнина]]. За разлика от алгебричните криви, трансцендентните могат да имат безброй много пресечни точки с дадена [[права]], безброй много [[особена точка|особени точки]], [[екстремум]]и, [[асимптота|асимптоти]] и т.н. Наред с това, трансцендентните криви могат да имат точки, които не съществуват у алгебричните: например точки на прекъсване, [[асимптотична точка|асимптотични точки]] и др.
<br />
{| border="1" valign="top"
|'''Примери за криви'''
Line 47 ⟶ 43:
|| [[Витлова линия]], [[Сферична спирала]]
|}
=== В зависимост от степента на кривата ===
Класификацията се отнася до алгебричните криви.
<br />
{|border="1" valign="top"
| '''Степен''' || '''Наименование, специфики''' || '''Примери'''
| |||