Уикипедия

Топологично пространство: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
връщам тук съдържанието на Алтернативни дефиниции на топологично пространство - не е имало нужда да се цепи
м разместване
Ред 2:
 
==Дефиниция==
Фамилия <math>T\,</math> от подмножества на множеството <math>\mathcal{X}</math> се нарича '''(отворена) топология''' или фамилия на неговите '''отворени подмножества''', ако изпълнява следните свойства:
*самото множество <math>\mathcal{X}</math> и празното множество принадлежат на <math>T\,</math>,
*обединенията на елементи на <math>T\,</math> са елементи на <math>T\,</math>,
*сеченията на краен брой елементи на <math>T\,</math> са също елементи на <math>T\,</math>.
 
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},T)</math> се нарича '''тополoгично пространство''', елементите на <math>\mathcal{X}</math> - '''елементи''' или '''точки''' на тополoгичното пространство, а елементите на <math>T\,</math> - '''отворени множества'''.
 
== Основни понятия и свойства ==▼
== Алтернативни дефиниции на топологично пространство ==▼
 
Фамилията <math>F=\{\mathcal{B}:\mathcal{B}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\in T}</math> от подмножества на <math>\mathcal{X}</math> се нарича фамилия на '''затворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math>.▼
Лесно може да се покаже, че сечението на затворени множества и обединението на краен брой затворени множества също е затворено множество. ▼
 
'''Затворена обвивка''' на подмножество <math>\mathcal{A}</math> на <math>\mathcal{X}</math> се нарича сечението на всички затворени подмножества, на които <math>\mathcal{A}</math> е подмножество. Затворената обвивка на <math>\mathcal{A}</math> се бележи с <math>\overline{\mathcal{A}}</math>.▼
 
Множеството <math>Int(\mathcal{A})=\mathcal{X}\setminus\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})}</math> се нарича '''вътрешност''' на <math>\mathcal{A}</math>.▼
 
Множеството <math>Fr(\mathcal{A})=\overline{\mathcal{A}}\cap\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})}</math> се нарича '''контур''' или '''граница''' на <math>\mathcal{A}</math>.▼
 
'''Отворена околност''' на <math>x\in\mathcal{X}</math> се нарича всяко отворено множество, което съдържа <math>x\,</math>. '''Околност''' на <math>x\,</math> се нарича всяко подмножество на <math>\mathcal{X}</math> сред подмножествата, на което има '''отворена околност''' на <math>x\,</math>. Фамилията от околности на <math>x\,</math> образува [[филтър (математика)|филтър]], който се нарича '''филтър от околности''' на <math>x\,</math> и се бележи най-често с <math>\mathfrak{U}(x).\,</math>▼
 
▲=== Алтернативни дефиниции на топологично пространство ===
 
Възможно е понятията '''затворени подмножества''', '''затворена обвивка''', '''вътрешност''', '''контур''' и ''филтри от '''околности''' да бъдат въведени и аксиоматично по подобие на по-горе формулираната дефиницията на '''отворено множество''', а самото понятие '''отворено множество''' да бъде дефинирано чрез тях. Може да се покаже, че всички тези [[алтернативни дефиниции на топологично пространство]] са дуални помежду си, т.е. че чрез тях се задават едни и същи (в топологичен смисъл) структури.▼
Топологично пространство се задава според по-горе формулираната дефиниция, като се задават неговите '''отворени подмножества'''. Съществуват обаче и много други алтернативни начини за задаване на топологично пространство. Тогава първоначално се определят '''затворените подмножества''', функциите '''затворена обвивка''', '''вътрешност''', '''контур''' или филтрите от '''околности''', а понятието '''отворено множество''' бива дефинирано впоследствие чрез тях.
 
==== Дефиниране чрез посочване на затворените множества ====
 
Фамилия <math>F\,</math> от подмножества на множеството <math>\mathcal{X}</math> се нарича '''(затворена) топология''' или фамилия на неговите '''затворени подмножества''', ако изпълнява следните свойства:
*самото множество <math>\mathcal{X}</math> и празното множество принадлежат на <math>F\,</math>,
*сеченията на елементи на <math>F\,</math> са елементи на <math>F\,</math>,
*обединенията на краен брой елементи на <math>F\,</math> са също елементи на <math>F\,</math>.
 
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},F)</math> се нарича '''тополoгично пространство''', а елементите на <math>F\,</math> - '''затворени множества'''.
 
Фамилията <math>T\,</math> на '''отворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math> се дефинира както следва:
 
<math>T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{B}\}_{\mathcal{B}\in F}</math>
 
==== Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки ====
 
Нека за всяко на множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>\overline{\mathcal{A}}\subset\mathcal{X}</math>, наречено '''затворена обвивка''' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
*<math>\overline{\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}=\overline{\mathcal{A}}\cup\overline{\mathcal{B}}</math>
Line 35 ⟶ 48:
*<math>\overline{(\overline{\mathcal{A}})}=\overline{\mathcal{A}}</math>
 
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията затворена обвивка се нарича '''тополoгично пространство'''.
 
Фамилията <math>F\,</math> на '''затворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math> се дефинира както следва:
 
<math>F=\{\mathcal{B}:\overline{\mathcal{B}}=\mathcal{B};\mathcal{B}\subset\mathcal{X}\}</math>,
 
а фамилията <math>T\,</math> на '''отворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math>:
 
<math>T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus \overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})};\mathcal{A}\subset\mathcal{X}\}</math>
 
==== Дефиниране чрез задаване на вътрешност ====
 
Нека за всяко множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{X}</math>, наречено '''вътрешност''' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
*<math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{A}</math>
Line 54 ⟶ 67:
*<math>Int(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=Int(\mathcal{A})\cap Int(\mathcal{B})</math>
 
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията вътрешност се нарича '''тополoгично пространство'''.
 
<math>\mathcal{A}\,</math> се нарича околност на <math>x\,</math> ако <math>x\in Int(\mathcal{A})</math>.
 
'''Oтворени''' са множествата, които са околности на всяка своя точка.
 
==== Дефиниране чрез задаване на филтри от околности ====
 
Нека за всяка точка <math>x\in\mathcal{X}</math> е зададена фамилия от подмножества <math>\mathfrak{U}(x)\subseteq \mathcal{X}</math> наречена филтър от околности на <math>x\,</math> със свойствата:
Line 71 ⟶ 84:
<math>\mathcal{X}</math> заедно с филтирите от околности задават топологичното пространство: <math>(\mathcal{X},\mathfrak{U}).</math> Отворени в това топологично пространство са по дефиниция онези множества <math>\mathcal{A}</math>, за които:
:<math>x\in\mathcal{A} \Rightarrow \left\{\mathcal{U}:\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x),\ \mathcal{U}\subseteq \mathcal{A}\right\}\neq\varnothing.</math>
 
▲== Основни понятия и свойства ==
 
▲Фамилията <math>F=\{\mathcal{B}:\mathcal{B}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\in T}</math> от подмножества на <math>\mathcal{X}</math> се нарича фамилия на '''затворените подмножества''' на <math>\mathcal{X}</math>.
▲Лесно може да се покаже, че сечението на затворени множества и обединението на краен брой затворени множества също е затворено множество.
 
▲'''Затворена обвивка''' на подмножество <math>\mathcal{A}</math> на <math>\mathcal{X}</math> се нарича сечението на всички затворени подмножества, на които <math>\mathcal{A}</math> е подмножество. Затворената обвивка на <math>\mathcal{A}</math> се бележи с <math>\overline{\mathcal{A}}</math>.
 
▲Множеството <math>Int(\mathcal{A})=\mathcal{X}\setminus\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})}</math> се нарича '''вътрешност''' на <math>\mathcal{A}</math>.
 
▲Множеството <math>Fr(\mathcal{A})=\overline{\mathcal{A}}\cap\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})}</math> се нарича '''контур''' или '''граница''' на <math>\mathcal{A}</math>.
 
▲'''Отворена околност''' на <math>x\in\mathcal{X}</math> се нарича всяко отворено множество, което съдържа <math>x\,</math>. '''Околност''' на <math>x\,</math> се нарича всяко подмножество на <math>\mathcal{X}</math> сред подмножествата, на което има '''отворена околност''' на <math>x\,</math>. Фамилията от околности на <math>x\,</math> образува [[филтър (математика)|филтър]], който се нарича '''филтър от околности''' на <math>x\,</math> и се бележи най-често с <math>\mathfrak{U}(x).\,</math>
 
▲Възможно е понятията '''затворени подмножества''', '''затворена обвивка''', '''вътрешност''', '''контур''' и филтри от '''околности''' да бъдат въведени и аксиоматично по подобие на по-горе формулираната дефиницията на '''отворено множество''', а самото понятие '''отворено множество''' да бъде дефинирано чрез тях. Може да се покаже, че всички тези [[алтернативни дефиниции на топологично пространство]] са дуални помежду си, т.е. че чрез тях се задават едни и същи (в топологичен смисъл) структури.
 
===Конструиране на топологични пространства===
Line 92 ⟶ 90:
 
====Бази====
'''База''' на топологичното пространство <math>(\mathcal{X},T)</math> е всяка фамилия от отворени множества <math>B\subset T</math>, за която
:<math>T=\left\{\bigcup_{\mathcal{A}\in B'}\mathcal{A}\right\}_{B'\subseteq B}</math>,
a '''подбаза''' - фамилия <math>P\subset T</math>, за която
:<math>T=\left\{\bigcap_{\mathcal{A}\in P'}\mathcal{A}\right\}_{P'\subseteq P:\ Card(P')<\aleph_0}</math>
 
====Породени и индуцирани топологични пространства====
 
Всяко множество <math>B \subseteq \{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subseteq \mathcal{X}}</math>, което съдържа сеченията на краен брой свои елементи, е база на топологично пространство наречено '''породено''' от базата <math>B\,</math>.
 
Ако <math>(\mathcal{X},T)</math> е топологично пространство, а <math>\mathcal{X'}</math> е подмножество на <math>\mathcal{X}</math>, то пространството:
:<math>\left(\mathcal{X'},\left\{ \mathcal{A}\cap \mathcal{X}' \right\}_{\mathcal{A}\in T}\right)</math>
се нарича пространство с '''индуцирана''' от <math>T\,</math> върху <math>\mathcal{X}'\,</math> топология или '''подпространство''' на <math>(\mathcal{X},T)</math>.
 
====Декартово произведение на топологични пространства====
Line 120 ⟶ 118:
Сечение на две топологични пространства <math>(\mathcal{X},T_1)</math> и <math>(\mathcal{X},T_2)</math> се нарича пространсвото <math>(\mathcal{X},T_1\cap T_2).</math> За разлика от сечението подобно механично обединяване на топологични пространства е невъзможно, защото "обединението" на две топологични пространства (т.е. <math>(\mathcal{X},T_1\cup T_2)</math>) не винаги е топологично пространсво.
 
Сравнени по тяхната грубост топологичните пространства върху <math>\mathcal{X}</math> образуват [[пълна решетка]]. Долните граници в тази решетка могат да се определят като се пресечат пространсвата в подмножествата на решетката. Горните граници пък са най-грубите топологични пространства съдържащи тяхното обединение. Пълната решетка от топологични пространства върху <math>\mathcal{X}</math> притежава най-малък елемент - '''хаотичната топология''': <math>(\mathcal{X},\{\varnothing,\mathcal{X}\})</math> и най-голям елемент - '''дискретната топология''': <math>(\mathcal{X},\{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subset\mathcal{X}}).</math>
 
==Литература==
 
*Schubert H., ''Topologie - eine Einführung'', B. G. Teubner Stuttgart, 1964
*''Увод в теория на множествата и топологията'', Кажимеш Куратовски, изд. "Наука и изкуство", София, 1979▼
*Александров П., ''Введение в теорию множеств и общую тополгию'', П. С. Александров, "Наука", Москва, 1977
▲*Куратовски К., ''Увод в теория на множествата и топологията'', Кажимеш Куратовски, изд. "Наука и изкуство", София, 1979
*Александрян Р., Мирзаханян Э., ''Общая топология'', Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, "Высшая школа", Москва, 1979
*''Lehrbuch der Analysis, Teil 2'', H. Heuser, B. G. Teubner Stuttgart, 1981
*''TopologieHeuser - eineH., Einführung''Lehrbuch der Analysis, H.Teil Schubert2'', B. G. Teubner Stuttgart, 19641981
 
 
[[Категория:Математика]]
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Топологично_пространство“.