|
Границата на функция характеризира определено поведение на функционалните стойности на функцията f(x), когато независимата променлива х клони към определена стойност х<sub>0</sub> или съответно към +∞ или -∞.
'''Дефиниция 1'''. АкоКазваме, че функцията f(x) клони към '''границата''' ''l'' при ''х'', клонящо към ''х''<sub>0</sub>, ако когато аргументът ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub>, функционните стойности ''f(x'') се приближават все повече до дадено число ''l'', т. е. когато разликата |''f''(''x'') - ''l''| става произволно малка за всички ''х'', лежащи в достатъчно малка околност на х<sub>0</sub>, се казва, че функцията f(x) клони към ''х'границата''' l, при х, клонящо към х<sub>0</sub>. Записва се:Означаваме
:<math>\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = l.</math>
'''Дефиниция 2.''' Функцията ''f''(''x'') има граница в дадена точка ''x''<sub>0</sub>, ако за каквото и да е произволно малко число <math>\epsilon > 0</math> съществува друго произволно малко число <math>\delta (\epsilon) > 0</math>, такова че от <math> 0 < | x - x_0 | < \delta (\epsilon)</math> следва <math>| f(x) - l | < \epsilon.</math>. Това се записва още така:
:<math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0\,:\,0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - l | < \epsilon </math>
[[Картинка:Sinc_function.png|thumb|Функцията sin''x''/''x'']]
'''Границата''' се въвежда в математиката за да се охарактеризира поведението на функция в точки, в които тя не е дефинирана, в безкрайността или ако директното пресмятяне на стойността ѝ в тазиразглежданата точка води до неопределеност от типа <math>\frac{0}{0}</math>0. Например при директно пресмятяне на стойността на [[функция]]тафункцията
<math>\frac{\sin x}{x}</math>
за <math>x = 0</math> води до резултат <math>\frac{0}{0}</math>0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата [[функция]] за стойности на ''х'', близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.
<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x) = 1</math>.
[[Картинка:Тангенс.png|thumb|Функцията tg ''x'']]
В математиката се различават '''лява''' и '''дясна граница''', в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се с
| 