Уравнение: Разлика между версии

|[[Файл:Équation-paramétrée.svg|мини|Графиката на функцията ''f'' е парабола, показана в синьо на схемата, графиката на ''g''<sub>1</supsub>(''x'') е правата в червено, тази на ''g''<sub>-2</supsub>(''x'') – във виолетово и тази на ''g''<sub>-1</supsub> – в зелено]]

Задачата може да се реши, като се въведе функцията ''f''(''x''), която съпоставя на всяко ''x'' стойността ''x''². Нейната графика е квадратна [[парабола]], показана в синьо на схемата вдясно. Функцията ''g''<sub>1</supsub>(''x'') съпоставя на ''x'' стойността 2.''x''&nbsp;+1 (червената права). Корените на уравнение ''(1)'' са абсцисите на пресечните точки на параболата и червената права, като графичното представяне показва, че съществуват две решения, съответстващи на двете пресечни точки. За решаването на уравнение ''(2)'' се въвежда функцията ''g''<sub>-2</supsub>(''x''), която съпоставя на ''x'' стойността 2.''x''&nbsp;-2 (виолетовата права). Тя не пресича параболата, което означава, че уравнението няма решение. В последния случай се въвежда функцията ''g''<sub>-1</supsub>(''x''), която съпоставя на ''x'' стойността 2.''x''&nbsp;-1 (зелената права). Нейната графика е права, успоредна на първите две, която има една обща точка с параболата и съответно третото уравнение има едно решение.

Този екстремум е и решението на системата линейни уравнения. За да се разбере методът на решение, най-просто е да се разгледа случаят с две измерения – графиката на ''f'' има овална форма, както е показано на схемата вляво. Ако се тръгне от произволна точка ''x''₀ и се следва кривата с най-голям [[Наклон (математика)|наклон]] (показана като червена парабола на схемата вляво и като червена отсечка на схемата вдясно), най-високата точка се означава като ''x''₁. От точка ''x''<sub>1</supsub> отново се следва кривата с най-голям наклон, показана в зелено на схемите. Този [[алгоритъм]] се нарича [[метод на най-бързото изкачване]]. Ако вместо да се следва точно пътя на най-големия наклон, се избере посока, ортогонална на предходните посоки, методът дава решение за максимум ''n'' стъпки, където ''n'' е броят на измеренията на ''E''.

В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] е възможно всяка точка от пространството да се съпоставят определени координати, например чрез използването на [[ортонормален базис]]. Този подход дава възможност геометричните фигури да бъдат описвани с помощта на уравнения. Така например, [[равнина (математика)|равнина]] в триизмерното пространство може да се опише като съвкупността от решенията на уравнение от вида ''a.x''&nbsp;+&nbsp;''b.y''&nbsp;+&nbsp;''c.z''&nbsp;+&nbsp;''d''&nbsp;=&nbsp;0, където ''a'', ''b'', ''c'' и ''d'' са реални числа, а неизвестните ''x'', ''y'' и ''z'' са координатите на точките от равнината в избраната координатна система. Числата ''a'', ''b'' и ''c'' са координати на вектор, перпендикулярен на описваната от уравнението равнина. [[Права]]та се дефинира като сечение на две равнини и може да се опише като съвкупността от решенията на линейно уравнение със стойности в ℝ<sup>2</subsup> или на система от две линейни уравнения със стойности в ℝ, където ℝ е множеството на реалните числа.