Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
корекции |
добавки по ен: |
||
Ред 2:
[[Файл:Binary logarithm plot with ticks.svg|мини|300п|alt=Графика на логаритмична крива, пресичаща абсцисата при ''x''= 1 и клоняща към минус безкрайност при ординатата.|Графиката на логаритъм с основа 2 пресича [[абсциса]]та в {{math|''x'' {{=}} 1}} и преминава през точките {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}} и {{nowrap|(8, 3)}} (съответстваща на {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} и {{math|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}); кривата се доближава [[Асимптота|асимптотично]] до [[ордината]]та без да я пресича]]
'''Логаритъмът''' е [[Математика|математическа]] [[функция]], [[Обратна функция|обратна]] на [[Степенуване (математика)|степенуването]]. Това означава, че логаритъмът на дадено число {{mvar|x}} е степента, на която друго постоянно число, основата {{mvar|b}}, трябва да бъде повдигната, за да се получи това число {{mvar|x}}.
В най-простия случай логаритъмът е броят повторени умножения с един и същ коефициент, например, тъй като {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}, логаритъмът с основа {{math|10}} на {{math|1000}} е {{math|3}}. Логаритъмът от {{mvar|x}} с основа {{mvar|b}} се записва като {{math|log<sub>''b''</sub> (''x'')}} (или без скоби, като {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}}; и дори без уточняване на основата, като {{math|log ''x''}}, когато не може да стане объркване).
Логаритмите започват да се използват в началото на 17 век от [[Джон Непер]] като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със [[сметачна линия]] или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: {{nowrap|1=log<sub>''a''</sub>(''xy'') = log<sub>''a''</sub>(''x'') + log<sub>''a''</sub>(''y'')}}. Съвременното означение на логаритмите е въведено през 18 век от [[Леонард Ойлер]], който открива и тяхната връзка със [[степенна функция|степенната функция]].▼
По-общо, степенуването позволява всяко положително [[реално число]] да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа {{mvar|b}} и {{mvar|x}}, където {{mvar|b}} е различно от {{math|1}}, е винаги уникално реално число {{mvar|y}}. В явен вид връзката между степенуване и логаритъм е:
:<math> \log_b(x) = y \quad</math> тогава и само тогава, когато <math>\quad b^y = x. </math>
Например, {{math|1=log<sub>2</sub> 64 = 6}}, тъй като {{math|1=64 = 2<sup>6</sup>}}.
Логаритъмът с основа {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) се нарича [[десетичен логаритъм]] и се използва често в науката и техниката. [[Естествен логаритъм|Естественият логаритъм]] има за основа [[Неперово число|неперовото число]] {{math|''e''}} ({{math|''b'' ≈ 2.718}}) и има широко приложение в математиката и физиката, заради своята проста [[производна]]. За тези две основи се използват и специални означения – {{math|ln}} вместо {{math|log<sub>''e''</sub>}} и {{math|lg}} вместо {{math|log<sub>10</sub>}}. [[Двоичен логаритъм|Двоичният логаритъм]] има основа {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) и е често използван в [[компютърни науки|компютърните науки]].
▲Логаритмите започват да се използват в началото на 17 век от [[Джон Непер]] като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със [[сметачна линия]] или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: {{nowrap|1=log<sub>''a''</sub>(''xy'') = log<sub>''a''</sub>(''x'') + log<sub>''a''</sub>(''y'')}}. Съвременното означение на логаритмите е въведено през 18 век от [[Леонард Ойлер]], който открива и тяхната връзка със [[степенна функция|степенната функция]].
[[Логаритмична скала|Логаритмичните скали]] се използват за по-компакно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, [[децибел]]ът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или [[звуково налягане]]). В химията [[Водороден показател|водородният показател]] (pH) е логаритмична мярка за [[киселинност]]та на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на [[Алгоритъм|алгоритми]] и при [[фрактал]]ите. С тях се описват [[Музикален интервал|музикалните интервали]], участват в оценки за броя на [[Просто число|простите числа]] или в някои модели на [[психофизика]]та.
| |||