Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
добавки по ен: |
добавки по ен: |
||
Ред 52:
* {{math|log<sub>10</sub>150}} е приблизително 2.176, което се намира между 2 и 3, както 150 се намира между {{math|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} и {{math|10<sup>3</sup> {{=}} 1000.}}
* За всяка основа {{mvar|b}}, {{math|log<sub>''b''</sub> {{mvar|b}} {{=}} 1}} и {{math|1= log<sub>''b''</sub> 1 = 0}}, тъй като {{math|''b''<sup>1</sup> {{=}} {{mvar|b}}}} и {{math|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}.
== Логаритмични тъждества ==
Няколко важни формули, понякога наричани ''логаритмични тъждества'' или [[логаритмични равенства]], свързват логаритмите един с друг.
=== Произведение, частно, степен и корен ===
Логаритъмът на произведение е равен на сбора на логаритмите на множителите, а логаритъмът на частното на две числа е разликата от техните логаритми. Логаритъмът на {{nowrap|''p''-тата}} степен на дадено число е ''p'' пъти логаритъма на самото число, а логаритъмът на {{nowrap|''p''-тия}} корен е равен на логаритъма на числото, разделен на ''p''. Следната таблица описва тези тъждества с примери. Всяко от тях може да се изведе чрез субституция на лявата страна в определенията за логаритъм <math>x = b^{\log_b x}</math> ири <math>y = b^{\log_b y}</math>.
{| class="wikitable"
|-
! !! Формула{{hrf|Shirali|2002}} !! Пример
|-
| Произведение || <cite id="labegarithmProducts"><math>\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math></cite>
| <math>\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
| Частно || <math>\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math>\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
| Степен || <cite id="labelLogarithmPowers"><math>\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math></cite>
| <math>\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
| Корен || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
| <math>\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}
=== Смяна на основата ===
Логаритъмът {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} може да се получи от логаритмите на {{mvar|x}} и {{mvar|b}} при произволна основа ''k'' чрез следната формула:{{hrf|Shirali|2002}}
: <cite id="labelLogarithmBaseChange"><math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.\, </math></cite>
Изхождайки от дефиниционното равенство
: <math> x = b^{\log_b x} </math>
можем да приложим {{math|log<sub>''k''</sub>}} върху двете страни на уравнението, за да получим
: <math> \log_k x = \log_k (b^{\log_b x}) = \log_b x \cdot \log_k b</math>.
Решавайки за <math>\log_b x</math> се получава:
: <math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>,
което показва, че преходният коефициент от дадена <math>\log_k</math>-стойност към нейната съответна <math>\log_b </math>-стойност е <math>(\log_k b)^{-1}.</math>
Повечето научни [[калкулатор]]и могат да изчисляват логаритми с основа 10 и [[Неперово число|{{mvar|e}}]].{{hrf|Bernstein|1999|21}} Логаритмите с произволна основа {{mvar|b}} могат да се изчислят с някой от тези два логаритъма въз основа на горната формула:
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,</math>
При дадено число {{mvar|x}} и неговия логаритъм {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} при неизвестна основа {{mvar|b}}, основата се получава от:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b x},</math> което се вижда от повдигането на дефиниционното равенство <math> x = b^{\log_b x} </math> на степен <math>\; \tfrac{1}{\log_b x}.</math>
== История ==
Line 87 ⟶ 135:
; Цитирани източници
* {{Cite book | last = Bernstein | first = Stephen | coauthors = Ruth Bernstein | title = Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher = McGraw-Hill | location = New York | series = Schaum's outline series | isbn = 978-0070050235 | year = 1999 | lang = en}}
* {{cite | фамилия-част = Bukhshtab | име-част = A.A. | съавтори-част = V.I. Pechaev | заглавие-част = Arithmetic | url-част = http://eom.springer.de/A/a013260.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en}}
* {{cite book | last = Groza | first = Vivian Shaw | coauthors = Susanne M. Shelley | year = 1972 | title = Precalculus mathematics | publisher = Holt, Rinehart and Winston | location = New York | pages = 182 | isbn = 978-0-03-077670-0 | lang = en | url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}
| |||