Уикипедия

Логаритъм: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
добавки по ен:
Ред 100:
При дадено число {{mvar|x}} и неговия логаритъм {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} при неизвестна основа {{mvar|b}}, основата се получава от:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b x},</math> което се вижда от повдигането на дефиниционното равенство <math> x = b^{\log_b x} </math> на степен <math>\; \tfrac{1}{\log_b x}.</math>
 
== Конкретни основи ==
[[Файл:Log4.svg|мини|Графики на логаритми с основи 0.5, 2 и {{mvar|e}}]]
 
Измежду всички възможни основи на логаритмите три се използват особено често – това са {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[неперово число|''e'']]}} (ирационалната математическа константа ≈ 2.71828) и {{math|1=''b'' = 2}}. Логаритъмът с основа {{mvar|e}} ([[естествен логаритъм]]) се използва широко в [[математически анализ|математическия анализ]], заради неговите особени аналитични свойства. В същото време логаритмите с основа 10 ([[десетичен логаритъм]]) са лесни за използване при ръчни изчисления в обичайната десетична бройна система:{{hrf|Downing|2003|275}}
 
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ </math>
 
Така {{math|log<sub>10</sub>''x''}} е свързан с броя цифри на дадено положително цяло число {{mvar|x}}: броят на цифрите е най-малкото число, по-голямо от log<sub>10</sub>''x''.{{hrf|Wegener|2005|20}} Например, {{math|log<sub>10</sub>1430}} е приблизително 3.15, следващото цяло число е 4, което е и броят на цифрите в 1430.
 
Както естественият логаритъм, така и логаритъмът с основа 2 ([[двоичен логаритъм]]), се използват в [[информатика]]та, съответно в базовите единици за информация [[нат]] и [[бит]].{{hrf|Van der Lubbe|1997|3}} Двоичните логаритми имат приложение и в [[компютърни науки|компютърните науки]], където двоичната бройна система заема централно място, във [[фотография]]та за измерване на [[експозиционно число|експозиционното число]],{{hrf|Allen|2011|228}} както и в [[теория на музиката|теорията на музиката]], където важна роля има удвояването на височините ([[октава]]), а интервалите в [[класическа музика|класическата музика]] обикновено се измерват чрез на двоични логаритми.
 
Следващата таблица изброява обичайните обозначения на логаритмите с тези три основи и областите, в които те се използват. В много области се изписва {{math|log''x''}} вместо {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}}, когато използвана основа може да бъде определена от контекста. Понякога се среща и означението {{math|<sup>''b''</sup>log''x''}}.{{hrf|Embacher|2011}} Колоната „Обозначение по ''ISO''“ показва обозначенията, препоръчвани от [[Международна организация по стандартизация|Международната организация по стандартизация]] в стандарта [[ISO 31-11]].{{hrf|Taylor|1995}} Тъй като изписването {{math|log {{mvar|x}}}} се използва и за трите основи (или когато основата е неопределена или без значение), предполагаемата основа често се определя въз основа на контекста или съответната научна област. В компютърните науки и математиката log обикновено се отнася съответно за {{math|log<sub>2</sub>}} и {{math|log<sub>e</sub>}}.{{hrf|Goodrich|2002|23}} В други контексти log често обозначава {{math|log<sub>10</sub>}}.{{hrf|Parkhurst|2007|288}}
 
{| class="wikitable"
|-
! scope="col"|Основа {{mvar|b}}
! scope="col"|Наименование на log<sub>''b''</sub>''x''
! scope="col"|Обозначение по ''ISO''
! scope="col"|Други обозначения
! scope="col"|Приложение
|-
! scope="row"|2
| [[двоичен логаритъм]]
| {{math|lb {{mvar|x}}}}{{hrf|Gullberg|1997|}}
| {{math|ld {{mvar|x}}}}, {{math|log {{mvar|x}}}}, {{math|lg {{mvar|x}}}},{{hrf|Perl|1977|219 – 222}} {{math|log<sub>2</sub>''x''}}
| [[компютърни науки]], [[информатика]], [[теория на музиката]], [[фотография]]
|-
! scope="row"|{{mvar|e}}
| [[естествен логаритъм]]
| {{math|ln {{mvar|x}}}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}{{hrf|Rudin|1984|}}
| математика, физика, химия, [[статистика]], [[икономика (наука)|икономика]], информатика и техника
|-
! scope="row"|10
| [[десетичен логаритъм]]
| {{math|lg {{mvar|x}}}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}, {{math|log<sub>10</sub>''x''}}
| техника, логаритмични таблици, [[спектроскопия]]
|}
 
== История ==
Line 122 ⟶ 162:
 
; Цитирани източници
* {{Cite book | last = Allen | first = Elizabeth | coauthors = Sophie Triantaphillidou | title = The Manual of Photography | publisher = Taylor & Francis | year = 2011 | isbn = 978-0240520377 url = https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228 | lang = en}}
* {{Cite book | last = Bernstein | first = Stephen | coauthors = Ruth Bernstein | title = Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher = McGraw-Hill | location = New York | series = Schaum's outline series | isbn = 978-0070050235 | year = 1999 | lang = en}}
* {{cite | фамилия-част = Bukhshtab | име-част = A.A. | съавтори-част = V.I. Pechaev | заглавие-част = Arithmetic | url-част = http://eom.springer.de/A/a013260.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en}}
* {{cite book | last = Downing | first = Douglas | title = Algebra the Easy Way | series = Barron's Educational Series | location = Hauppauge, NY | publisher = Barron's | isbn = 978-0764119729 | year = 2003 | lang = en}}
* {{cite web | last = Embacher | first = Franz | coauthors = Petra Oberhuemer | year = 2011 | url = http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html | title = Mathematisches Lexikon | publisher = mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium | work = mathe-online.at | accessdate = 2011-03-22 | lang = de}}
* {{cite book | last = Goodrich | first = Michael T. | coauthors = Roberto Tamassia | title = Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples | publisher = John Wiley & Sons | year = 2002 | lang = en}}
* {{cite book | last = Groza | first = Vivian Shaw | coauthors = Susanne M. Shelley | year = 1972 | title = Precalculus mathematics | publisher = Holt, Rinehart and Winston | location = New York | pages = 182 | isbn = 978-0-03-077670-0 | lang = en | url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}
* {{cite book | last = Gullberg | first = Jan | title = Mathematics: from the birth of numbers | location = New York | publisher = W. W. Norton & Co | year = 1997 | isbn = 978-0393040029 | lang = en}}
* {{cite | фамилия-част = Gupta | име-част = R. C | заглавие-част = History of Mathematics in India | url-част = http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false | фамилия = Hoiberg | име = Dale | съавтори = Indu Ramchandani | заглавие = Students' Britannica India: Select essays | място = New Delhi | издател = Popular Prakashan | дата = 2000 | isbn = 9780852297629 | език = en}}
* {{cite web | last = Jain | first = Hiralal | year = 1996 | url = http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm | title = The Shatkhandagama of Pushpadanta and Bhootabal | work = jainworld.com | publisher = Jain Samskriti Samrakshaka Sangha | accessdate = 7 юни 2011 | lang = en}}
* {{cite book | last = Kate | first = S.K. | coauthors = H.R. Bhapkar | title = Basics Of Mathematics | location = Pune | publisher = Technical Publications | isbn = 978-8184317558 | year = 2009 | url = https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PA1 | lang = en}}
* {{cite book | last = Parkhurst | first = David F | title = Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science | edition = illustrated | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2007 | isbn = 978-0387342283 | url = https://books.google.com/books?id=h6yq_lOr8Z4C&pg=PA288 | lang = en}}
* {{cite journal | last = Perl | first = Yehoshua | coauthors = Edward M. Reingold | year = 1977 | title = Understanding the complexity of interpolation search | journal = Information Processing Letters | date = December 1977 | volume = 6 | issue = 6 | pages = 219 – 222 | doi = 10.1016/0020 – 0190(77)90072-2 | lang = en}}
* {{cite book | last = Rudin | first = Walter | title = Principles of mathematical analysis | year = 1984 | publisher = McGraw-Hill International | location = Auckland | isbn = 978-0070856134 | edition = 3rd ed., International student | lang = en}}
* {{cite book | last = Shirali | first = Shailesh | title = A Primer on Logarithms | publisher = Universities Press | isbn = 978-8173714146 | year = 2002 | location = Hyderabad | url = https://books.google.com/books?id=0b0igbb3WaQC | lang = en}}
* {{cite book | last = Stifelio | first = Michaele | year = 1544 | title = Arithmetica Integra | publisher = Iohan Petreium | location = London | pages = 13 | lang = la}}
* {{cite web | last = Taylor | first = B. N | title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) | publisher = US Department of Commerce | year = 1995 | url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2 | lang = en}}
* {{cite book | last = Van der Lubbe | first = Jan C. A | title = Information Theory | publisher = Cambridge University Press | year = 1997 | isbn = 978-0521467605 | url = https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3 | lang = en}}
* {{cite book | last = Wegener | first = Ingo | title = Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | isbn = 978-3540210450 | year = 2005 | lang = en}}
 
== Вижте също ==
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Логаритъм“.