Уикипедия

Логаритъм: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
добавки по ен:
м формат дати; козметични промени
Ред 4:
'''Логаритъмът''' е [[Математика|математическа]] [[функция]], [[Обратна функция|обратна]] на [[Степенуване (математика)|степенуването]]. Това означава, че логаритъмът на дадено число {{mvar|x}} е степента, на която друго постоянно число, основата {{mvar|b}}, трябва да бъде повдигната, за да се получи това число {{mvar|x}}.
 
В най-простия случай логаритъмът е броят повторени умножения с един и същ коефициент, например, тъй като {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}, логаритъмът с основа {{math|10}} на {{math|1000}} е {{math|3}}. Логаритъмът от {{mvar|x}} с основа {{mvar|b}} се записва като {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp; (''x'')}} (или без скоби, като {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp; ''x''}}; и дори без уточняване на основата, като {{math|log&thinsp;log ''x''}}, когато не може да стане объркване).
 
По-общо, степенуването позволява всяко положително [[реално число]] да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа {{mvar|b}} и {{mvar|x}}, където {{mvar|b}} е различно от {{math|1}}, е винаги уникално реално число {{mvar|y}}. В явен вид връзката между степенуване и логаритъм е:
Ред 10:
:<math> \log_b(x) = y \quad</math> тогава и само тогава, когато <math>\quad b^y = x. </math>
 
Например, {{math|1=log<sub>2</sub>&thinsp;64 64 = 6}}, тъй като {{math|1=64 = 2<sup>6</sup>}}.
 
Логаритъмът с основа {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) се нарича [[десетичен логаритъм]] и се използва често в науката и техниката. [[Естествен логаритъм|Естественият логаритъм]] има за основа [[Неперово число|неперовото число]] {{math|''e''}} ({{math|''b'' ≈ 2.718}}) и има широко приложение в математиката и физиката, заради своята проста [[производна]]. За тези две основи се използват и специални означения – {{math|ln}} вместо {{math|log<sub>''e''</sub>}} и {{math|lg}} вместо {{math|log<sub>10</sub>}}. [[Двоичен логаритъм|Двоичният логаритъм]] има основа {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) и е често използван в [[компютърни науки|компютърните науки]].
Ред 21:
 
== Обща информация ==
[[Събиране]]то, [[умножение]]то и [[степенуване (математика)|степенуванестепенуването]]то да трите основни аритметични действия. Събирането, най-простото от тях, е обратимо чрез [[изваждане]]. Така събирането на 2 и 3 дава 5, като процесът на добавяне на 2 е обратим чрез изваждане на 2: 5 - 2 = 3. Умножението, средното по сложност действие, е обратимо чрез [[деление]] – удвояването на {{math|x}} (умножението на {{math|x}} с 2), е обратимо чрез деление на 2. Например, умножението <math>3 \cdot 2 = 6</math> е обратимо чрез делението <math>6 / 2 = 3</math>. Смисълът на логаритмите е подобно обръщане на основно аритметично действие – повдигането на число на дадена степен, наричано степенуване. Например, повдигането на 2 на трета степен дава 8, тъй като 8 е произведението на три множителя 2:
 
: <math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math>
Ред 184:
Друго важно приложение на логаритмите е [[сметачна линия|сметачната линия]], двойка логаритмично разграфени скали, използвани за изчисления. Неподвижната логаритмична скала е изобретена от [[Едмънд Гънтър]] малко след въвеждането на логаритмите. [[Уилям Отред]] я усъвършенства с добавянето на втора плъзгаща се скала. На двете скали са поставени числа на разстояния, пропорционални на разликите между техните логаритми. Плъзгането на подвижната скала съответства на механично събиране на логаритми, както е показано тук:
 
[[Файл:Slide rule example2 with labels.svg|centerцентър|мини|550п|Схематично изображение на сметачна линия. Тръгвайки от 2 на долната скала, се добавя разстоянието до три на горната скала, за да се получи произведението 6. Сметачната линия работи, тъй като разстоянието от 1 до {{mvar|x}} е пропорционално на логаритъм от {{mvar|x}}.|alt=Сметачна линия: два парвоъгълника с логаритмично разграфени оси в положение за добавяне на на разстоянието от 1 до 2 към разстоянието от 1 до 3, показвайки произведението 6.]]
 
Например, добавянето на разстоянието от 1 до 2 на долната скала към разстоянието от 1 до 3 на горвата скала дава произведението 6, което се отчита на долната скала. Сметачната линия е основно изчислително средство за инженери и учени до 70-те години на XX век, тъй като дава възможност, за сметка на точността, за по-бързи пресмятания от техниките, базирани на логаритмични таблици.
Ред 199:
* {{cite book | last = Campbell-Kelly | first = Martin | title = The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher = Oxford University Press | series = Oxford scholarship online | isbn = 978-0198508410 | year = 2003 | lang = en}}
* {{cite book | last = Downing | first = Douglas | title = Algebra the Easy Way | series = Barron's Educational Series | location = Hauppauge, NY | publisher = Barron's | isbn = 978-0764119729 | year = 2003 | lang = en}}
* {{cite web | last = Embacher | first = Franz | coauthors = Petra Oberhuemer | year = 2011 | url = http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html | title = Mathematisches Lexikon | publisher = mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium | work = mathe-online.at | accessdate = 2011-03-22 март 2011 | lang = de}}
* {{cite book | last = Goodrich | first = Michael T. | coauthors = Roberto Tamassia | title = Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples | publisher = John Wiley & Sons | year = 2002 | lang = en}}
* {{cite book | last = Groza | first = Vivian Shaw | coauthors = Susanne M. Shelley | year = 1972 | title = Precalculus mathematics | publisher = Holt, Rinehart and Winston | location = New York | pages = 182 | isbn = 978-0-03-077670-0 | lang = en | url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Логаритъм“.