Тригонометрична функция: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Етикети: Заместване blanking Визуален редактор |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
[[File:Trigonometric-functions-thick.gif|200px|мини|Тригонометрични функции:
<span style="color:#00A">[[Синус (математика)|синус]]</span>,
<span style="color:#0A0">[[косинус]]</span>,
<span style="color:#A00">[[тангенс]]</span>,
<span style="color:#AA0">[[котангенс]]</span>,
<span style="color:#A0A">[[секанс]]</span>,
<span style="color:#0AA">[[косеканс]]</span>]]
'''Тригонометричните функции''' в [[математика]]та са [[функция|функции]] на [[ъгъл|ъгли]]. Използват се в геометрията за изследване на [[триъгълник|триъгълници]] и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:
* отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
* координати на точка от [[единична окръжност|единичната окръжност]] (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).
В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като
* решения на някои [[Обикновено диференциално уравнение|диференциални уравнения]]
или като
* безкрайни [[числов ред|числови редове]], което позволява да се додефинират и за [[комплексно число|комплексен]] аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.
== Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълик ==
[[Файл:Trigonometry function2.png|мини|300п|Правоъгълен триъгълник]]
Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно <math>0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}</math>.
=== Дефиниции ===
'''Синус''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:
<math>\sin\alpha=\frac{a}{c}</math>.
Това отношение не зависи от триъгълника ''АВС'' с остър ъгъл <math>\alpha</math>, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл <math>\alpha</math> са подобни.
'''Косинус''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:
<math> \cos\alpha=\frac{b}{c}</math>.
'''Тангенс''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:
<math>\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}</math>.
'''Котангенс''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:
<math>\operatorname{cotg}\,\alpha=\frac{b}{a}</math>.
'''Секанс''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:
<math>\sec\alpha=\frac{c}{b}</math>.
'''Косеканс''' на ъгъл <math>\alpha</math> е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:
<math>\operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}</math>.
В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте [[тригонометрични тъждества]].
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
|-
! [[Функция]]
! Означ.
! Връзка
! [[Дефиниционна област]]
! Приема стойности
|-
! [[Синус (математика)|Синус]]
| sin
| <math>\sin \phi = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,</math>
| всяко φ
| [–1; 1]
|-
! [[Косинус]]
| cos
| <math>\cos \phi = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right)\,</math>
| всяко φ
| [–1; 1]
|-
! [[Тангенс]]
| tg
| <math>\operatorname{tg} \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,</math>
| всяко φ, без ''φ = kπ'', ''k'' – [[цяло число]]
| <math>(-\infty; +\infty)</math>
|-
! [[Котангенс]]
| cotg или ctg
| <math>\operatorname{ctg} \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,</math>
| всяко φ, без ''φ = π/2 + kπ'', ''k'' – [[цяло число]]
| <math>(-\infty; +\infty)</math>
|}
== Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност ==
[[Файл:Trigonometric function.png|300px|мини|Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез [[радиус-вектор]]а и единичната окръжност или чрез отношения в [[правоъгълен триъгълник]]]]
Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка ''О'' и с оси ''OX'' и ''OY''. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център ''О'' и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ''ОА'' на произволен ъгъл <math>\vartheta </math> около ''О''.
Синус на ъгъла <math>\vartheta </math> се нарича отношението на ординатата на точката ''А'' към дължината на отсечката ''ОА''. Тъй като дължината на ''ОА'' е равна на 1,
:<math>\sin\vartheta={AC}</math>.
По същия начин
:<math>\cos\vartheta={OC}</math>.
Тангенс на ъгъла <math>\vartheta </math> се нарича отношението на ординатата на точката ''А'' към нейната абсциса, т.е.
:<math>\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC}</math>, <math>\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}</math>.
За котангенса имаме
:<math>\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC}</math>, <math>\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{sin\vartheta}</math>.
== Тригонометричните функции като редове ==
Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на [[Ред на Тейлър|редовете на Тейлър]] стигаме до представяне на синуса и косинуса като [[степенен ред|степенни редове]].
<math> \sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>,
<math> \cos x = 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>.
<math> \operatorname{tg}\,x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)</math>
където ''B<sub>n</sub>'' са числата на Бернули.
<math> \sec x = 1+\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{277x^8}{8064} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}</math>
където ''Е<sub>n</sub>'' са числата на Ойлер.
== Свойства на тригонометричните функции ==
Функцията косинус е '''четна''', а синус, тангенс и котангенс – '''нечетни''', т.е.
:<math> \sin \left(- x \right) = - \sin x</math>,
:<math> \cos \left(- x \right) = \cos x</math>,
:<math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(- x \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, x</math>,
:<math> \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(- x \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, x</math>.
За остри ъгли <math>\alpha < \frac{\pi}{2}\,\!</math>
:<math> \sin \left(\frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha</math>,
:<math> \cos \left(\frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha</math>,
:<math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha</math>,
:<math> \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha</math>.
За ъгли <math>0 < \alpha < \pi \,\!</math> е изпълнено
:<math> \sin \left(\pi - \alpha \right) = \sin \alpha</math>,
:<math> \cos \left(\pi - \alpha \right) = - \cos \alpha</math>,
:<math> \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(\pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{\pi}{2}</math>.
Да разгледаме триъгълника ''ABC'' (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме
:<math> \left(AC \right)^2 + \left(BC \right)^2 = \left(AB \right)^2</math>,
и тъй като ''AB = 1'', ''AC = sin α'' и ''BC = cos α'', то
:<math> \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>.
== Източници ==
* Тригонометрические функции – статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].
== Вижте също ==
* [[Аркуссинус]]
* [[Списък с интеграли на тригонометрични функции]]
* [[Обратни тригонометрични функции]]
| |||