Отваря главното меню

Тригонометрична функция

Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

  • отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
  • координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

или като

  • безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълникРедактиране

 
Правоъгълен триъгълник

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно  .

ДефиницииРедактиране

Синус на ъгъл   е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

 .

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл  , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл   са подобни.

Косинус на ъгъл   е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

 .

Тангенс на ъгъл   е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

 .

Котангенс на ъгъл   е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

 .

Секанс на ъгъл   е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

 .

Косеканс на ъгъл   е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

 .

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Функция Означ. Връзка Дефиниционна област Приема стойности
Синус       [–1; 1]
Косинус       [–1; 1]
Тангенс   или       без  ,      
Котангенс   или       без  ,      

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжностРедактиране

 
Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез радиус-вектора и единичната окръжност или чрез отношения в правоъгълен триъгълник

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл   около О.

Синус на ъгъла   се нарича отношението на ординатата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

 .

По същия начин

 .

Тангенс на ъгъла   се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

 ,  .

За котангенса имаме

 ,  .

Тригонометричните функции като редовеРедактиране

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

 ,  .

 

където Bn са числата на Бернули.

 

където Еn са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функцииРедактиране

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

 ,
 ,
 ,
 .

За остри ъгли  

 ,
 ,
 ,
 .

За ъгли   е изпълнено

 ,
 ,
 .

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

 ,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

 .

ИзточнициРедактиране

  • Тригонометрические функции – статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте същоРедактиране