Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Bot: Automated text replacement (- на на + на ) |
добавки по ен: |
||
Ред 245:
=== Интегрално представяне на естествения логаритъм ===
[[Файл:Natural logarithm integral.svg|мини|[[Естествен логаритъм|Естественият логаритъм]] от ''{{Mvar|t}}'' е затъмнената площ под графиката на функцията {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (реципрочната стойност на {{mvar|x}})]]
Line 258 ⟶ 257:
[[Файл:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|мини|център|500п|Графична демонстрация на формулата за натурален логаритъм от произведение]]
Формулата за степенуване {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} може да бъде изведена по подобен начин:
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
Второто равенство използва [[смяна на променливата]] – {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>1/''r''</sup>}}.
Сборът на реципрочните стойности на естествените числа,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
се нарича [[хармоничен ред]] и е тясно свързан с естествения логаритъм – когато ''n'' клони към [[безкрайност]], разликата
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
е [[Граница на редица|схождаща]] към число, наречено [[константа на Ойлер – Маскерони]] {{math|1 = ''γ'' = 0.5772...}}. Тази зависимост се използва за анализ на поведението на алгоритми като [[бързо сортиране]].{{hrf|Havil|2003|}}
Има и други интегрални представяния на логаритми, които са полезни за определени цели:
:<math> \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right)</math>
:<math> \ln(x) = \int_0^\infty\,\frac{dt}{t}\,\left[\cos(t)-\cos(xt)\right]</math>
Първото тъждество може да се провери, като се демонстрира, че при {{math|1=''x'' = 1}} двата израза имат еднаква стойност и еднаква производна. Второто тъждество се доказва от:
:<math> \frac1t =\int_0^\infty\,dq\,e^{-qt} </math>
като след това се вмъкне [[трансформация на Лаплас]]
and then inserting the [[Laplace transform]] на {{math|1=cos(''xt'')}} (и {{math|1=cos(''t'')}}).
=== Трансцендентност ===
[[Реално число|Реалните числа]], които не са [[Алгебрично число|алгебрични]], се наричат [[Трансцендентно число|трансценденти]].{{hrf|Nomizu|1996|21}} Например, [[Пи|{{pi}}]] и ''[[неперово число|e]]'' са трансцендентни числа, но <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> не е. Почти всички реални числа са трансцендентни. Логаритъмът е пример за [[трансцендентна функция]] – според [[теорема на Гелфонд-Шнайдер|теоремата на Гелфонд-Шнайдер]] те обикновено имат трансцендентни стойности.{{hrf|Baker|1975|10}}
== Изчисляване ==
Line 277 ⟶ 300:
* {{Cite book | last = Abramowitz | first = Milton | coauthors = Irene A. Stegun | title = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 978-0486612720 | edition = 10th | year = 1972 | title-link = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | lang = en }}
* {{Cite book | last = Allen | first = Elizabeth | coauthors = Sophie Triantaphillidou | title = The Manual of Photography | publisher = Taylor & Francis | year = 2011 | isbn = 978-0240520377| url = https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228 | lang = en }}
* {{cite book | last = Baker | first = Alan | title = Transcendental number theory | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-20461-3 | year = 1975 | lang = en}}
* {{Cite book | last = Bernstein | first = Stephen | coauthors = Ruth Bernstein | title = Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher = McGraw-Hill | location = New York | series = Schaum's outline series | isbn = 978-0070050235 | year = 1999 | lang = en }}
* {{cite book | last = Bryant | first = Walter W | title = A History of Astronomy | url = https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up | publisher = Methuen & Co | location = London | year = 1907 | lang = en }}
Line 290 ⟶ 314:
* {{cite book | last = Gullberg | first = Jan | title = Mathematics: from the birth of numbers | location = New York | publisher = W. W. Norton & Co | year = 1997 | isbn = 978-0393040029 | lang = en }}
* {{cite | фамилия-част = Gupta | име-част = R. C | заглавие-част = History of Mathematics in India | url-част = http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false | фамилия = Hoiberg | име = Dale | съавтори = Indu Ramchandani | заглавие = Students' Britannica India: Select essays | място = New Delhi | издател = Popular Prakashan | дата = 2000 | isbn = 9780852297629 | език = en}}
* {{cite book | last = Havil | first = Julian | title = Gamma: Exploring Euler's Constant | publisher = Princeton University Press | isbn = 978-0-691-09983-5 | year = 2003 | lang = en}}
* {{cite web | last = Jain | first = Hiralal | year = 1996 | url = http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm | title = The Shatkhandagama of Pushpadanta and Bhootabal | work = jainworld.com | publisher = Jain Samskriti Samrakshaka Sangha | accessdate = 7 юни 2011 | lang = en }}
* {{cite book | last = Kate | first = S.K. | coauthors = H.R. Bhapkar | title = Basics Of Mathematics | location = Pune | publisher = Technical Publications | isbn = 978-8184317558 | year = 2009 | url = https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PA1 | lang = en }}
* {{cite book | last = Kline | first =Morris | title = Calculus: an intuitive and physical approach | publisher = Dover Publications | location = New York | series = Dover books on mathematics | isbn = 978-0-486-40453-0 | year = 1998 | lang = en}}
* {{cite book | last = Lang | first = Serge | title = Undergraduate analysis | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | edition = 2nd | series = Undergraduate Texts in Mathematics | isbn = 978-0-387-94841-6 | mr = 1476913 | year = 1997 | doi = 10.1007/978-1-4757-2698-5 | lang = en }}
* {{cite book | last = Nomizu | first = Katsumi | title = Selected papers on number theory and algebraic geometry | volume = 172 | location = Providence, RI | publisher = AMS Bookstore | year = 1996 | isbn = 978-0-8218-0445-2 | url = https://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21 | lang = en}}
* {{cite book | last = Parkhurst | first = David F | title = Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science | edition = illustrated | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2007 | isbn = 978-0387342283 | url = https://books.google.com/books?id=h6yq_lOr8Z4C&pg=PA288 | lang = en }}
* {{cite journal | last = Perl | first = Yehoshua | coauthors = Edward M. Reingold | year = 1977 | title = Understanding the complexity of interpolation search | journal = Information Processing Letters | date = December 1977 | volume = 6 | issue = 6 | pages = 219 – 222 | doi = 10.1016/0020 – 0190(77)90072 – 2 | lang = en }}
| |||