Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство на ограничените функции

изобразяващи непразно множество в нормираното пространство супремум-нормата се дефинира чрез

.[1]

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

СвойстваРедактиране

 
За точка от страните на квадрата е изпълнено  .

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции     не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство   да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако   е компактно метрично пространство, то пространството   на непрекъснатите функции     е подпространство на   и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:[2]

 ,

която в частност съвпада със супремум-нормата.   понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството   може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.[3] Нормираното пространство   е банахово.[2]

Функцията

 

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { fn: n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

 

ПримериРедактиране

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.[4]

  • Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комлекснозначни редици:   (Тук   е   или  .)
  • Пространсвото на сходящите редици:  
  • Пространсвото на ограничените редици:  

Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:

 

нормирани чрез

 

за  . В сила е

 [5]

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма[6].

Пространството   на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал   нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната  -та производна нормирано чрез

 

е банахово.[7]

Вижте същоРедактиране

ЛитератураРедактиране

БележкиРедактиране

  1. Alt, 2006, стр. 37
  2. а б Dobrowski, 2006, стр. 31-32
  3. Dobrowski, 2006, стр. 14
  4. Werner, 2005, стр. 8-9
  5. Werner, 2005, стр. 37
  6. На англ. essential supremum norm
  7. Werner, 2005, стр. 6-7