Супремум-норма

Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство $\ell ^{\infty }(M,Y)$ на ограничените функции

$f:M\to Y$

изобразяващи непразно множество $M$ в нормираното пространство $(Y,\|\cdot \|_{Y})$ супремум-нормата се дефинира чрез

$\|f\|_{\ell ^{\infty }}:={\textrm {sup}}_{x\in M}|f(x)|$.

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

Свойства

За точка от страните на квадрата е изпълнено $\|x\|_{\infty }=1$.

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции $f:M\!^{\to }Y$ не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство $\ell ^{\infty }(M,Y)$ да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако $M$ е компактно метрично пространство, то пространството $C(M)$ на непрекъснатите функции $f:M\!^{\to }Y$ е подпространство на $\ell ^{\infty }(M,Y)$ и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:

$\|f\|_{\infty }:={\textrm {max}}_{x\in M}|f(x)|$,

която в частност съвпада със супремум-нормата. $\|\cdot \|_{\infty }$ понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството $C(M)$ може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни. Нормираното пространство $(C(M),\|\cdot \|_{\infty })$ е банахово.

Функцията

$d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }$

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { f_n: n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

$\lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.$

Примери

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.

• Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комплекснозначни редици: $c_{0}=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ {\textrm {lim}}_{n\to \infty }t_{n}=0\}$ (Тук $\mathbb {K}$ е $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.)
• Пространсвото на сходящите редици: $c=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \exists t({\textrm {lim}}_{n\to \infty }t_{n}=t)\}$
• Пространсвото на ограничените редици: $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} )=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \exists t\forall n(|t_{n}|<t)\}$

Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:

$\ell ^{p}=\left\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|^{p}<\infty \right\}$

нормирани чрез

$\|x\|_{\ell ^{p}}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

за $1\leq p<\infty$. В сила е

$\forall x\in \ell ^{1}(\mathbb {N} )({\textrm {lim}}_{p\to \infty }\|x\|_{\ell ^{p}}=\|x\|_{\ell ^{\infty }})$

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма.

Пространството $C^{1}([a,b])$ на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал $[a,b]$ нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната $r$-та производна нормирано чрез

$\|f\|=\sum _{i=0}^{r}\left\|{\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}\right\|_{\ell ^{\infty }}$

е банахово.

Вижте също

• Пространство Lp
• Равномерна сходимост

Литература

• Mathieu M., Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1998, ISBN 3-8274-0153-4
• Dubrowski M., Angewandte Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25395-5
• Alt H., Lineare Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-34186-2
• Werner D., Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3