В теория на групите, левите/десни съседни класове на група по дадена подгрупа , представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата се нарича нормална подгрупа на .

Формално определениеРедактиране

Нека   е група с мултипликативен запис на операцията,   е нейна подгрупа и е даден елемент  . Множеството   се нарича ляв съседен клас на   по  . Множеството   е десен съседен клас на   по  .

СвойстваРедактиране

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент   принадлежи на дадена подгрупа  , когато   и   съвпадат с  , т.е.  .

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група   е броя на елементите на  

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас  .

Единствено   е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на  , където с   отбелязваме единичния елемент на  .

Теорема на ЛагранжРедактиране

Нека   е крайна група и   е нейна подгрупа. Индекс   на   в  , е броят на левите (десни) съседни класове на   по  .

Теорема:  .

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.