Теоремата на Чева е класическа теорема за триъгълници в Евклидовата геометрия. Установена е от Джовани Чева през 1678 г.

ПриложениеРедактиране

Теоремата гласи: през всеки от върховете на триъгълник ABC минава права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и трите прави се пресичат в една точка.[1]

Винаги  

 
Теоремата на Чева: трите отсечки се пресичат в точка от ABC.

Доказателство на теорематаРедактиране

Нека трите прави се пресичат в точка „O“.

Лицето на триъгълник AFC = AF по височината към AF.

Лицето на триъгълник BFC = BF по височината към BF, която е равна височината към AF.

Следователно: S(AFC)/S(BFC) = AF/FB.

По същия начин, лицата на триъгълниците OBC и OAC се отнасят както АF към FB (S(OBC)/S(OAC) = FB/AF).

Аналогично:

S(BOA)/S(AOC) = BD/DC, S(ABO)/S(OBC) = AE/EC, S(OBC)/S(AOC) = FB/AF.

Сега се замества в уравнението:

 

После, след съкращаване, се получава отговор 1 и теоремата е доказана.

ИзточнициРедактиране

  1. Alfred S. Posamentier. Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. New York, Springer Science & Business Media, 2002. ISBN 9781930190856. с. 32.