Точно диференциално уравнение

Точно диференциално уравнение или диференциално уравнение с пълен диференциал в математиката е определен вид обикновено диференциално уравнение.

Точни диференциални уравнения от първи ред

Тест за точно диференциално уравнение

Нека функциите ${\textstyle M}$, ${\textstyle N}$, ${\textstyle M_{y}}$, и ${\textstyle N_{x}}$, където долните индекси означават частната производна, са непрекъснати в множеството ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ . В такъв случай диференциалното уравнение

$$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

е точно тогава и само тогава, когато

$$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$$

Тоест съществува функция $\psi (x,y)$, наречена потенциална функция, така че

$$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ и }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$$

В общия случай:

$$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

Доказателство

Доказателството се състои от две части.

Нека $\psi (x,y)$ е функция, така че $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ и }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$.

Тогава $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ и }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$.

От условието, че $M_{y}$ и $N_{x}$ са непрекъснати, следва, че $\psi _{xy}$ и $\psi _{yx}$ също са непрекъснати, което гарантира тяхната еднаквост.

Втората част от доказателството се състои в конструирането на функцията $\psi (x,y)$ и може да се използва и като процедура за решаване на точни диференциални уравнения от първи ред. Нека за $M_{y}$и $N_{x}$ е изпълнено, че $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$, и нека $\psi (x,y)$ е функция, за която е изпълнено, че $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ и }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$.

Започваме като интегрираме първото уравнение спрямо $x$ . Практически няма значение дали се интегрира първото или второто уравнение, стига интегрирането да се извършва спрямо правилната променлива.

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$$

$$\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

където $Q(x,y)$ е произволна диференцируема функция, за която$Q_{x}=M$ . Функцията $h(y)$ играе ролята на константа на интегриране, но вместо просто константа, тя е функция от $y$, тъй като ${\textstyle M(x,y)}$ е функция и от $x$, и от $y$, а ние интегрираме само спрямо $x$ .

Сега, да покажем, че винаги е възможно да се намери функция $h(y)$ такава, че $\psi _{y}=N$ .

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

Диференцираме двете страни на уравнението спрямо $y$ .

$${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$$

Заместваме ${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)$ с $N$ и изразяваме $h'(y)$ .

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

За да се определи $h'(y)$ от това уравнение, дясната страна трябва да зависи само от $y$ . Това може да се докаже, като се покаже, че производната ѝ спрямо $x$ винаги е нула. Затова диференцираме дясната страна спрямо $x$:

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$$

Понеже $Q_{x}=M$, следва, че

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)=0$$

,

въз основа на първоначалното предположение, че $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$.

Следователно,

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

$$h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}+C$$

Решаване на точни диференциални уравнения от първи ред

Точни диференциални уравнения от първи ред с формата

$$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

могат да се запишат изцяло въз основа на потенциалната функция $\psi (x,y)$

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$$

където

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

Това е еквивалентно на пълния диференциал на $\psi (x,y)$ .

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$$

Тогава решенията на точното диференциално уравнение се дават от

$$\psi (x,y(x))=c$$

и проблемът се свежда до намирането $\psi (x,y)$ .

Това може да се постигне чрез интегрирането на двата израза $M(x,y)dx$ и $N(x,y)dy$ и съставянето на полином, в който всеки член от получените изрази се среща само веднъж. Този полином ще бъде $\psi (x,y)$.

Причината за това е следната. Понеже

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

чрез интегриране на двете страни следва, че

$${\begin{cases}\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

От което следва, че

$$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$

където $Q(x,y)$ и $P(x,y)$ са диференцируеми функции, така че $Q_{x}=M$ и $P_{y}=N$ .

За да е винаги изпълнено това, и за да може от двете страни да се получи абсолютно един и същи израз, а именно $\psi (x,y)$, $h(y)$ задължително трябва да се съдържа в израза за $P(x,y)$, защото не може да бъде в $g(x)$, тъй като първото е изцяло функция на $y$ и следователно не може да има нищо общо с $x$ . Аналогично $g(x)$ трябва да се съдържа в израза $Q(x,y)$ .

Следователно,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ и }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$

за някакви изрази $f(x,y)$ и $d(x,y)$ . Замествайки в предишното уравнение, изведено от системата, следва, че

$$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$

и така $f(x,y)$ и $d(x,y)$ се оказват една и съща функция. От това следва, че

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ и }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$

Тъй като вече показахме, че

$${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

следва, че

$$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$

В крайна сметка $\psi (x,y)$ може да се построи чрез извършване на операциите$\int {M(x,y)dx}$ и $\int {N(x,y)dy}$ и съставянето на многочлен от едночлените, които са общи за двата израза (а именно $f(x,y)$), и добавянето към тях на едночлените, които се срещат само в един от двата интеграла, т.е. $g(x)$ и $h(y)$.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Exact differential equation в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​