Уравнение на Фокер-Планк
Уравнението на Фокер-Планк е частно диференциално уравнение, чието решение е плътността на вероятността за преход в марковски процес. Търсената плътност на вероятността може да е тази на скоростта, но уравнението може да бъде обобщено и за други наблюдаеми физически величини.[1] Първоначално, уравнението е написано за изследване на брауновото движение. Уравнението на Лиувил е частен случай на уравнението на Фокер-Планк за нулева дифузия.
Едномерно
редактиранеВ едномерно пространство x, за процес на Ито с дадено стохастично диференциално уравнение
отклонение и дисперсионен коефициент , уравнението на Фокер-Планк за вероятностната плътност на случайната величина е
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)f(x,t)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b16a502d34b005b4c4c7f107379c8bd6be40f1)
Връзката между стохастичното диференциално уравнение и частното диференциално уравнение са задава от формулата на Фейнман-Кахц.
Предхождащият стохастичен процес се задава, в рамките на интеграла на Стратонович, чрез:
![{\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}dW_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ddfe205249d627dbfc7fd21977f84c104c5e09)
Източници
редактиране- ↑ Leo P. Kadanoff (2000). Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. ISBN 981-02-3764-2.