Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ , показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Графика, показваща взаимовръзката между
sin
φ
{\displaystyle \sin \varphi }
,
cos
φ
{\displaystyle \cos \varphi }
и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число
φ
{\displaystyle \varphi }
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!}
където важи:
е — основа на натуралния логаритъм,
i — имагинерна единица,
sin
{\displaystyle \sin }
cos
{\displaystyle \cos }
тригонометрични функции .Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).
Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, тя описва ротация на единичен вектор на ъгъл
φ
{\displaystyle \varphi }
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини като сред най-елегантните е чрез комплексен интеграл:[1]
Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.
z
≡
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle z\equiv \cos \varphi +i\sin \varphi \!}
След диференциране и преобразуване, получаваме:
d
z
=
d
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle dz=d(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)}
d
z
=
(
−
sin
φ
+
i
cos
φ
)
d
φ
{\displaystyle dz=(-\sin \varphi +i\cos \varphi \!)d\varphi }
d
z
=
i
(
i
sin
φ
+
cos
φ
)
d
φ
{\displaystyle dz=i(i\sin \varphi +\cos \varphi \!)d\varphi }
d
z
=
i
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
d
φ
{\displaystyle dz=i(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)d\varphi }
d
z
=
i
z
d
φ
{\displaystyle dz=izd\varphi }
d
z
z
=
i
d
φ
{\displaystyle {\frac {dz}{z}}=id\varphi }
∫
d
z
z
=
∫
i
d
φ
{\displaystyle \int {\frac {dz}{z}}=\int id\varphi }
ln
z
=
i
φ
+
C
{\displaystyle \ln z=i\varphi +C}
z
=
A
e
i
φ
{\displaystyle z=Ae^{i\varphi }}
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
z
(
0
)
=
A
=
cos
(
0
)
+
i
sin
(
0
)
=
1
{\displaystyle z(0)=A=\cos(0)+i\sin(0)=1}
и оттук
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!}
В частния случай, когато
φ
=
π
{\displaystyle \varphi =\pi \!}
e
i
π
=
cos
π
+
i
sin
π
.
{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}
Ако
cos
π
=
−
1
{\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}
sin
π
=
0
{\displaystyle \sin \pi =0\,\!}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}
а оттук следва, че:
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}
