Формула на Ойлер

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Графика, показваща взаимовръзката между, , и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число :

където: е — основа на натуралния логаритъм,
i — имагинерна единица,
и са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .

ИзводРедактиране

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл:[1]

Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.

 .

След диференциране и преобразуване, получаваме:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

 

и оттук

 .

Тъждество на ОйлерРедактиране

В частния случай, когато   получаваме:

 

Ако   и  , следва, че:

 

а оттук следва, че:

 

ИзточнициРедактиране

  1. Eric W. Weisstein. Euler Formula. // MathWorld. Посетен на 12 декември 2010.