Тригонометрична функция

(пренасочване от Тригонометрични функции)

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

Графики на тригонометричните функции:
  синус
  косинус
  тангенс
  котангенс
  секанс
  косеканс

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

редактиране
 
Фиг. 1. Правоъгълен триъгълник

Разглежда се правоъгълен триъгълник   в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно  ° или  .

Дефиниции

редактиране

Синус на ъгъл   е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

 .

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл  , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл   са подобни.

Косинус на ъгъл   е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

 .

Тангенс на ъгъл   е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

 .

Котангенс на ъгъл   е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

 .

Секанс на ъгъл   е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

 .

Косеканс на ъгъл   е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

 .

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единична окръжност

редактиране

Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл   с абсцисната ос OE (фиг. 2).

 
Фиг. 2. Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност

От правоъгълния триъгълник OCA

 ,

тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. От тук следва определението:

Синус на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

 .
 
Изчертаване на функциите синус и косинус от единичната окръжност.

По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:

Косинус на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

 .

Тангенс на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса:

 ,  .

Котангенс на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината:

 ,  .

Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.

Секанс на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

 ,  .

Косеканс на даден ъгъл  , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

 ,  .

В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3):

 
Фиг. 3. Единична окръжност с основни и допълнителни тригонометрични функции на ъгъл θ.
versin, vers или sin vers:
versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin2(θ2)
(появява се в най-ранните таблици); [1]
vercos или cos vers:
vercos(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π2 − θ) ;
  • хаверсинусhaversin или hav:
haversin(θ) = 12versin(θ) = sin2(θ2) ; [2]
  • хаверкосинусhavercos или hac:
havercos(θ) = 12vercos(θ) = cos2(θ2);
  • екссекансexsec(θ) = sec(θ) − 1;
  • екскосекансexcsc(θ) = exsec(π2 − θ) = csc(θ) − 1.
 
Графики на функциите versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc

Свойства

редактиране

Свойства на функцията синус

редактиране
 
Синус
  1. Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа:  .
  2. Множество на стойностите на функцията – областта
    [−1; 1]:   [−1;1].
  3. Функцията   е нечетна:  .
  4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на  :  .
  5. Графиката на функцията пресича оста Ох при  .
  6. Области с постоянен знак:
      при   и
      при  .
  7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента:  
  8. Функцията   е растяща при  , и намаляваща при  .
  9. Функцията има минимум при   и максимум при  .

Свойства на функцията косинус

редактиране
 
Косинус
  1. Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа:  .
  2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]:
      = [−1;1].
  3. Функцията   е четна:  .
  4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на  :  .
  5. Графиката на функцията пресича оста Ох при  .
  6. Области с постоянен знак:
      при   и
      при  .
  7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента:  
  8. Функцията   е растяща при   и е намаляваща при  .
  9. Функцията има минимум при   и максимум при  .

Свойства на функцията тангенс

редактиране
 
Тангенс
  1. Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа:  , освен числата  .
  2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа:  .
  3. Функцията   е нечетна:  .
  4. Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на  :  .
  5. Графиката на функцията пресича оста Ох при  .
  6. Области с постоянен знак:
      при   и
      при  .
  7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента:  
  8. Функция   расте при  .

Свойства на функцията котангенс

редактиране
 
Котангенс
  1. Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа:   освен числата  
  2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа:  .
  3. Функцията   е нечетна:  .
  4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на  :  .
  5. Графиката на функцията пресича оста Ох при  .
  6. Области с постоянен знак:
      при   и
      при  .
  7. Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента:  
  8. Функцията   намалява при  .

Обобщени свойства

редактиране

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

 ,  ,
 ,  .

За остри ъгли  

 ,  ,
 ,  ,
 ,  ,
 ,  .

За ъгли   е изпълнено

 ,  ,
 ,  ,
 ,
 ,
 ,
 .

Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.

  •   за   или  
  •   für   или  
  •   за   oder  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  
  •   за   или  

Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта:

Квадрант sin и csc cos и sec tan и cot
I + + +
II +
III +
IV +

В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции.

Функция Озна-чения Изразяване чрез основна връзка Дефиниционна област Област на стойностите
Синус       [–1; 1]
Косинус       [–1; 1]
Тангенс   или       без  ,
   
 
Котангенс  ,   или       без  ,
   
 

Връзки между функциите

редактиране

Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са

 
 
 

От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор

 ,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

 .

В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет.

sin cos tan cot sec csc
sin(x)            
cos(x)            
tan(x)            
cot(x)            
sec(x)            
csc(x)            

При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът   определя две стойности.

Тригонометричните функции като редове

редактиране

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове:

 ,

 .

Ползвайки тези формули, а също и равенствата       и   може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:

 

 

 

 

където   са числа на Бернули,   са числа на Ойлер.

Косинусът като скаларно произведение

редактиране

Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||:

 .

Пресмятане на тригонометрични функции

редактиране

Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

Стойности на тригонометрични функции за някои ъгли

редактиране
 
Стойности на косинус и синус   на окръжността

Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („ “ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост).



Основни стойности

редактиране
Радиани                
Градуси                
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли

редактиране
Радиани                  
Градуси                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   


Радиани                
Градуси                
                 
                 
                 
                 
                 
                 


Литература

редактиране
  • Lars Ahlfors. Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, segona edició, McGraw-Hill Book Company, Nova York, 1966.
  • Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, Nova York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
  • Boyer, Carl B. – A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., segona edició. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
  • Joseph, George G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, segona edició Penguin Books, Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
  • Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
  • Maor, Eli. Trigonometric Delights Arxivat 2006-04-14 a Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reimpressió (25 febrer de 2002): ISBN 0-691-09541-8.
  • Needham, Tristan. "Preface" Arxivat 2004-06-02 a Wayback Machine." a Visual Complex Analysis Arxivat 2008-06-07 a Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
  • O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Trigonometric functions" Arxivat 2013-01-20 a Wayback Machine., Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (1996).
  • O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma", Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2000).
  • Pearce, Ian G. "Madhava of Sangamagramma" Arxivat 2006-05-05 a Wayback Machine.. Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2002).
  • Weisstein, Eric W. "Tangent" a MathWorld, accés el 21 de gener de 2006.

Вижте също

редактиране
  1. Boyer 1991, с. xxiii–xxiv.
  2. Nielsen 1966, с. xxiii–xxiv.