Формули на Виет

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени. Формулите са наречени на името на Франсоа Виет (François Viète).

Нека е даден полином $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ с коефициенти $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ от някакво поле $F$

и корени $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ от $F$ или от някое разширение $E$ на $F$.

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).$ Като приравним коефициентите пред съответните степени на $x$, получаваме:

$x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}={-a_{n-1} \over a_{n}};$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={a_{n-2} \over a_{n}};$

$\ldots \ldots \ldots \ldots$

$x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=(-1)^{n}{a_{0} \over a_{n}}.$

Ако квадратно уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ има корени $x_{1}\!$ и $x_{2}\!$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};$

$x_{1}x_{2}={c \over a}.$

Ако кубично уравнение $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ има корени $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}};$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}};$

$x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Формулите на Виет важат както за реални, така и за комплексни корени и коефициенти. В случай че коефициентите и корените са реални числа, формулите на Виет дават възможност да се правят някои заключения за корените, без да се решава уравнението. Например при квадратно уравнение с реални коефициенти и корени, ако произведението на двата корена е отрицателно, то те имат различни знаци; а ако е положително, то те са с еднакви знаци (при това, ако коефициентите са реални числа и c/a < 0, то корените също са реални числа).

Съществува теорема, обратна на теоремата на Виет: ако две числа $x_{1}$ и $x_{2}$ изпълняват условията $x_{1}+x_{2}=-p$ и $x_{1}x_{2}=q$, то тези числа са корени на уравнението $x^{2}+px+q=0$.