Формули на Виет

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени.

Нека е даден полином $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ с коефициенти $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ от поле $F$

и корени $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ в $F$ или разширение $E$ на $F$.

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})$ Тогава като приравним коефициентите пред съответните степени на x на равенството, получаваме:

$x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}={-a_{n-1} \over a_{n}}$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={a_{n-2} \over a_{n}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots$

$x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=(-1)^{n}{a_{0} \over a_{n}}$

Нека квадратно уравнение $ax^{2}+bx+c=0\!$ има корени $x_{1}\!$ и $x_{2}\!$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}x_{2}={c \over a}$

Нека кубично уравнение $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ има корени $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}$

$x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$

Формулите на Виет дават възможност да се определят знаците на корените, без да се решава уравнението. Така например ако произведението им е отрицателно е ясно, че двата корена са реални и с различни знаци. А ако е положително, ако са реални са с еднакви знаци. От друга страна съществува и теорема, обратна на тази на Виет, според която ако две числа $x_{1}$ и $x_{2}$ изпълняват условията $x_{1}+x_{2}=-p$ и $x_{1}x_{2}=q$, то тези числа са корени на уравнението $x^{2}+px+q=0$.

Формулите на Виет се отнасят не само за реални, но и за комплексни числа!