Формули на Френел

Формулите на Френел свързват амплитудите на пречупените и отразените светлинни, а и най-общо електромагнитни вълни, с амплитудата на вълната, падаща върху плоска граница между две среди с различни показатели на пречупване. Изведени са от френския физик Огюстен Френел, който първи установява вълновата природа на светлината. Отражението, описвано с формулите на Френел, се нарича отражение на Френел.

Падаща, отразена и пречупена вълни на границата между две среди. Червеният цвят показва посоките на векторите на интензитета на електричното поле. Случай на р-поляризация

Същото за s-поляризирана светлина (векторите на електричното поле са насочени перпендикулярно на равнината на фигурата)

Частично предаване и отражение на амплитудата на вълна, движеща се в среда от нисък към висок показател на пречупване

Предварителна информация

При падане на лъч светлина върху плоска граница между две среди се разграничават две поляризации на светлината:

1) S-поляризация – векторът на интензитета на електрическото поле на електромагнитната вълна е перпендикулярен на равнината на падане (т.е. равнината, в която лежат както падащият, така и отразеният лъч);

2) P-поляризация – векторът на интензитета на електрическото поле лежи в равнината на падане.

Формулите на Френел за случаите на s-поляризация и p-поляризация са различни.

Нека $E_{i}$, $E_{r}$, $E_{t}$ са комплексните амплитуди съответно на падащата, отразената и пречупената вълна. Тогава отношението $r={\frac {E_{r}}{E_{i}}}$ се нарича амплитуден коефициент на отражение, а отношението $t={\frac {E_{t}}{E_{i}}}$ е амплитуден коефициент на пропускане. С долен индекс $r_{s}$, $r_{p}$, $t_{s}$, $t_{p}$ обозначаваме съответните амплитудни коефициенти за s- и p-поляризирани вълни.

Формули

Общ случай

${\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}$

където

$n_{1}$ е показателят на пречупване на средата, от която пада вълната,

$n_{2}$ е показателят на пречупване на средата, към която преминава вълната,

$\theta _{i}$ – ъгъл на падане,

$\theta _{t}$ – ъгъл на пречупване

Ъгълът на падане е свързан с ъгъла на пречупване чрез закона на Снел :

$n_{1}\sin \theta _{i}=n_{2}\sin \theta _{t}$

Тъй като светлината с различна поляризация се отразява по различен начин от повърхността, отразената светлина винаги е частично поляризирана, дори ако падащата светлина е неполяризирана. При определен ъгъл на падане, наречен ъгъл на Брюстер, отразеният лъч е напълно поляризиран. Неговата поляризация се оказва линейна, перпендикулярна на равнината на падане (т.е. условието $r_{p}=0$ ). Ъгълът на Брюстер $\theta _{B}$ зависи от съотношението на показателите на пречупване на средата, образуваща интерфейса, и може да се намери по формулата: $$\operatorname {tg} \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$$ Коефициентите на отражение и пречупване на енергията могат да се изчислят по формулите:

$R=|r|^{2}$

$T={\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}|t|^{2}$

• Зависимост на коефициентите на пропускане и отражение от ъгъла на падане на светлината
• 
  от по-малко оптически плътна среда (въздух) към по-оптически плътна среда (стъкло)
• 
  от по-оптически плътна среда (стъкло) към по-малко оптически плътна среда (въздух)

Нормално падане

При нормално падане на светлината разликата между p- и s-поляризираните вълни изчезва. Тогава амплитудните коефициенти стават равни:

$r_{s}=-r_{p}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{2}+n_{1}}},$

$t_{s}=t_{p}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}.$

Разликата в знаците на $r_{s}$ и $r_{p}$ се дължи на избора на посоките на векторите на интензитета на електрическото поле: в случай на p-поляризация, при нормално падане, векторите на падащите и отразените вълни се оказват насочени в противоположни посоки, а в случай на s-поляризация те остават еднопосочни.

Коефициенти на отражение и пречупване по енергия:

$R=\left|{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right|^{2},$

$T={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{2}+n_{1})^{2}}}.$

Граници на приложимост

Формулите на Френел са валидни, когато границата между двете среди е гладка, средата е изотропна, ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане и ъгълът на пречупване се определя от закона на Снелиус. В случай на неравна повърхност, особено когато характерните размери на неравностите са от порядъка на дължината на вълната, дифузното отражение на светлината върху повърхността е от голямо значение.

Източници

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Формулы Френеля“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​